Recursieve formules
Bij een recursieve formule berekent elke nieuwe waarde uit de vorige waarde. Zo kun je situaties met steeds dezelfde verandering stap voor stap beschrijven en doorrekenen.
Bij een recursieve formule hangt elke waarde af van de waarde ervoor. Een startwaarde u(0) heb je nodig, plus een regel die van u(n) naar u(n+1) gaat.
Let in een probleem op woorden als elke keer, per jaar of daarna. Vaak staat de regel dan meteen in de tekst. Blijft er iets gelijk bij elke stap, dan hoort er een optelling bij. Groeit of krimpt iets met een vast percentage, dan hoort er een vermenigvuldiging met een factor bij.
Soms komen beide voor. Dan krijg je een plus-constante, zoals u(n+1) = 1,005·u(n) + 50. Met de rekenmachine reken je dan stap voor stap door. Begin bij u(0) en vul elke volgende waarde in de regel in.
Zonder startwaarde kun je niets doorrekenen. Controleer die dus altijd eerst.
Onthoud
Een recursieve formule geeft een startwaarde en een regel van u(n) naar u(n+1).
Een vaste toename of afname per stap is een optelling of aftrekking.
Een vast percentage per stap hoort bij een vermenigvuldiging met een factor.
Bij een percentage van 0,5 procent gebruik je de factor 1,005.
Door stap voor stap door te rekenen vind je elke volgende term.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Een spaarrekening begint met 2000 euro. Elke maand komt er 0,5 procent rente bij en daarna wordt 50 euro gestort. Hoeveel staat er na drie maanden op de rekening?
- 1
De woorden elke maand wijzen op een regel die van de ene maand naar de volgende gaat.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen schrijven de startwaarde u(0) niet op, terwijl die bij elke recursieve formule hoort. Noteer altijd eerst de beginwaarde en daarna de regel.
Ze rekenen 0,5 procent als 0,5 in plaats van 0,005. Deel een percentage door honderd voordat je de factor bepaalt.
Ze verwarren de recursieve formule met een directe formule. Een recursieve formule verwijst altijd naar de vorige term, niet naar het nummer n zelf.
Snel checken
Gegeven is de rij met u(0) = 10 en u(n+1) = u(n) + 4. Welke waarde heeft u(3)?
Een populatie telt 800 dieren. Elk jaar verdwijnt 10 procent van de populatie van het jaar ervoor. Welke recursieve formule hoort hierbij?