Gemiddelde verandering op een interval
De gemiddelde verandering laat zien hoeveel een grootheid gemiddeld toeneemt of afneemt op een interval. Je gebruikt dit bij grafieken uit een praktijksituatie, dus het komt vaak terug op het examen.
Een grafiek laat zien hoe een grootheid verandert. Bij de gemiddelde verandering kijk je naar het totale verschil tussen twee punten van de grafiek. Wat er tussendoor gebeurt, telt niet mee.
Op het interval van a tot b reken je de gemiddelde verandering zo uit. Je deelt de verandering van de functiewaarde door de verandering van x.
- Δy = f(b) − f(a), het verschil in de functiewaarde
- Δx = b − a, het verschil in x
- gemiddelde verandering = Δy / Δx
De uitkomst heeft een eenheid. Die is de eenheid van de y-as per eenheid van de x-as. Een afstand in meter gedeeld door een tijd in seconden geeft meter per seconde.
De uitkomst vertelt hoe snel de grootheid gemiddeld toeneemt of afneemt op dat interval. Een positieve uitkomst betekent dat de grafiek gemiddeld stijgt. Een negatieve uitkomst betekent dat hij gemiddeld daalt. De grafiek kan tussendoor heel anders lopen, en dat zegt de gemiddelde verandering niet.
Trek in de teller en de noemer altijd de waarde aan het begin van het interval af van die aan het eind. Dan klopt het teken van Δy en van Δx.
Onthoud
Gemiddelde verandering = Δy / Δx, met Δy = f(b) − f(a) en Δx = b − a.
Op de grafiek lees je de functiewaarden af bij de x-waarden a en b.
De eenheid van de uitkomst is de eenheid van de y-as per eenheid van de x-as.
Een positieve uitkomst betekent gemiddeld stijgen, een negatieve uitkomst gemiddeld dalen.
De uitkomst zegt niets over de waarden die tussen a en b liggen.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Een bakje wordt gevuld met water. Het aantal liter V na t minuten is V(t) = 0,5t² + 2t. Bereken de gemiddelde verandering van V op het interval van t = 2 tot t = 6 en geef de betekenis.
- 1
V(2) = 0,5 · 2² + 2 · 2 = 2 + 4 = 6
Veelgemaakte fouten
Teller en noemer worden vaak in een verkeerde volgorde getrokken. Trek in beide altijd de waarde van het begin af van die van het eind.
Eenheden worden vergeten. Schrijf de uitkomst als eenheid van de y-as per eenheid van de x-as, bijvoorbeeld liter per minuut.
Snel checken
Gegeven is de functie f(x) = x² op het interval van x = 1 tot x = 4. Wat is de gemiddelde verandering van f op dit interval?
Een fietser legt een afstand s in km af. Bij tijd t in uur geldt s(0) = 0 en s(2) = 60. Wat zegt de gemiddelde verandering op het interval van 0 tot 2 uur?