Optimaliseren met de afgeleide
Bij een optimaliseringsprobleem zoek je de grootste of kleinste waarde van een grootheid. Met de afgeleide vind je die waarde systematisch, ook in een echte probleemsituatie.
Bij een optimaliseringsprobleem zoek je de grootste of kleinste waarde van een grootheid in een situatie. De formule staat meestal in de vraag. Jij moet er de afgeleide van bepalen.
Let goed op wat er gevraagd wordt. Gaat het om de toenamesnelheid, dan is de afgeleide zelf de functie waarvan je het maximum zoekt. Eerst stel je de afgeleide op, daarna zoek je het maximum van die afgeleide.
Het maximum van een functie ligt waar de afgeleide nul is. Dat kun je uitrekenen, maar je kunt ook de GR gebruiken. Teken de grafiek en lees de top af.
Tot slot controleer je of het antwoord in de juiste eenheid staat en op het gevraagde aantal decimalen is afgerond.
- Stel de afgeleide op met de kettingregel of de quotiëntregel.
- Zoek het maximum van de afgeleide, bijvoorbeeld met de GR.
- Let op de eenheid en het aantal decimalen in het antwoord.
Onthoud
Een optimaliseringsprobleem vraagt om een grootste of kleinste waarde in een situatie.
Bij toenamesnelheid zoek je het maximum van de afgeleide, niet van de functie zelf.
Een maximum of minimum van een functie ligt waar de afgeleide nul is.
De GR helpt om het maximum van een grafiek af te lezen.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Gevraagd is de maximale toenamesnelheid van het gewicht G, in gram per mm, afgerond op één decimaal.
- 1
De toenamesnelheid is de afgeleide dG/dT. Met de kettingregel vind je dG/dT = 22 · 1420 · 0,307 · e^(−0,307T) / (1 + 1420 · e^(−0,307T))².
Veelgemaakte fouten
Je zoekt het maximum van G in plaats van van de afgeleide. Bij toenamesnelheid zoek je het maximum van dG/dT.
De kettingregel vergeten bij e^(−0,307T). Vermenigvuldig de afgeleide altijd met de afgeleide van de exponent, dus met −0,307.
Het antwoord niet afronden op het gevraagde aantal decimalen. Lees de vraag na en rond precies af zoals gevraagd.
Snel checken
Een functie is P(x) = −x² + 8x. Wat is de maximale waarde van P?
Wat geeft de toenamesnelheid van een functie op één moment aan?