Machtsverbanden opstellen en gebruiken
Veel grootheden hangen af van een macht van een andere grootheid, zoals een oppervlakte van een lengte. In het examen stel je zo'n verband op, los je de vergelijking op en vertaal je de uitkomst terug naar de situatie.
Bij een machtsverband hangt een grootheid y af van een macht van een andere grootheid x. Dat schrijf je als y = c·xᵖ. Hierin is c de evenredigheidsconstante en p de macht.
De macht p bepaalt welk type verband het is. Bij p = 1 is het recht evenredig. Bij p = −1 is het omgekeerd evenredig. Bij p = 2 hangt y af van het kwadraat van x, en bij p = 3 van de derde macht.
Zo stel je de vergelijking op. Lees eerst uit de situatie welke grootheden bij x en y horen. Kijk dan welke macht bij de beschrijving past. Gebruik daarna een gegeven punt om c te berekenen, met c = y / xᵖ.
Daarna los je de vergelijking op. Vul de gevraagde waarde in en reken uit. Vraag je naar x, dan los je op met een wortel. Denk daarbij aan de context. Een lengte of een massa kan niet negatief zijn, dus ga na of je antwoord erbij past.
- Het type verband volgt uit de macht p.
- Met een gegeven punt reken je c uit.
- Een antwoord controleer je altijd op de context.
Bij schaalvergroting geldt: wordt x met een factor k groter, dan wordt y met een factor kᵖ groter. Dat helpt om een uitkomst snel te controleren.
Onthoud
Een machtsverband heeft de vorm y = c·xᵖ met een vaste macht p.
De macht p bepaalt of het verband recht evenredig, omgekeerd evenredig of kwadratisch is.
Met een gegeven punt bereken je de evenredigheidsconstante c.
Bij schaalvergroting met factor k verandert y met factor kᵖ.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Een kubus van een bepaald materiaal heeft massa m. Een kubus met ribbe 2,0 cm heeft massa 64 g. Welke massa heeft een kubus met ribbe 5,0 cm?
- 1
De massa hangt van de derde macht van de ribbe l af, dus m = c·l³.
Veelgemaakte fouten
Gebruik bij een kwadratisch of kubisch verband altijd de juiste macht, en niet de verhouding van de grootheden zelf.
Reken c niet uit zonder te controleren of je gegeven punt bij de vergelijking past.
Vergeet bij het terugrekenen van x niet de wortel te nemen en de context te controleren.
Snel checken
Een grootheid y is evenredig met het kwadraat van x. Voor x = 3 geldt y = 18. Wat is y voor x = 6?
Een grootheid y is omgekeerd evenredig met x. Voor x = 5 geldt y = 4. Wat is y voor x = 10?