Karakteristieke eigenschappen van functies
Karakteristieke eigenschappen zeggen veel over de vorm van een grafiek, zonder dat je hem tekent. Op het examen moet je zulke uitspraken zonder hulpmiddelen kunnen doen.
Een functie heeft kenmerken die je aan het voorschrift kunt zien. Denk aan nulpunten, het snijpunt met de y-as, symmetrie en het gedrag als x heel groot wordt.
Nulpunten vind je door f(x) = 0 op te lossen. Ontbind de functie daarvoor in factoren. Het snijpunt met de y-as vind je door x = 0 in te vullen.
Symmetrie herken je zonder te tekenen. Reken f(−x) uit en vergelijk die met f(x). Is f(−x) = f(x), dan is de grafiek symmetrisch in de y-as. Is f(−x) = −f(x), dan is de grafiek symmetrisch in de oorsprong.
Voor grote x-waarden let je op de hoogste macht van x. Die bepaalt of de grafiek omhoog of omlaag gaat. Zo zie je zonder rekenwerk hoe de grafiek ver van de oorsprong loopt.
Onthoud
Nulpunten zijn de x-waarden waarvoor f(x) = 0. Ze geven de snijpunten met de x-as.
Het snijpunt met de y-as vind je door x = 0 in te vullen.
Als f(−x) = f(x) geldt, is de grafiek symmetrisch in de y-as.
Als f(−x) = −f(x) geldt, is de grafiek symmetrisch in de oorsprong.
De hoogste macht van x bepaalt het gedrag van de grafiek voor grote x.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Gegeven is f(x) = x³ − 3x. Bepaal de nulpunten van f en de symmetrie van de grafiek.
- 1
Los f(x) = 0 op. Haal eerst x buiten haakjes, zodat x(x² − 3) = 0 ontstaat.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen vergeten vaak de negatieve wortel bij x² = 3. Schrijf altijd beide oplossingen, dus √3 en −√3.
Bij symmetrie kijken sommigen alleen naar een plaatje. Reken f(−x) uit en vergelijk die met f(x) of met −f(x).
Leerlingen tellen x = 0 soms twee keer mee bij x²(x² − 1) = 0. Tel elk verschillend nulpunt maar één keer.
Snel checken
Hoeveel verschillende nulpunten heeft de functie f(x) = x⁴ − x²?
Gegeven is g(x) = 2x² + 3. Welke symmetrie heeft de grafiek van g?