Wat de uitkomst van een bepaalde integraal betekent
Een bepaalde integraal geeft een getal, maar dat getal heeft in een toepassing een concrete betekenis. Op het examen moet je die betekenis met de juiste eenheid kunnen verwoorden.
Een bepaalde integraal ∫ van a tot b van f(x) dx geeft een oppervlakte, maar in toepassingen is de betekenis vaak een verandering. Begin altijd met de vraag wat f(x) en x zijn.
De eenheid van de uitkomst vind je door de eenheid van f(x) te vermenigvuldigen met de eenheid van x. Is f(x) een snelheid in m/s en x de tijd in s, dan is de uitkomst in meter.
Het teken telt mee. Oppervlakte onder de x-as telt negatief. De uitkomst is daarom de netto verandering. Die hoeft niet gelijk te zijn aan de totale hoeveelheid die er is bijgekomen of is verdwenen.
Bij een snelheid v(t) geeft ∫ van a tot b van v(t) dt de netto verplaatsing. Wil je de afgelegde weg, dan maak je de delen onder de t-as positief. Bij een debiet geeft dezelfde integraal de hoeveelheid die in die tijd is bijgekomen of afgevoerd. Zo lees je de uitkomst als een verandering in een bepaald tijdsinterval, met de juiste eenheid erbij.
Onthoud
De uitkomst heeft de eenheid van f(x) maal de eenheid van x.
Gebied onder de x-as telt negatief mee in de uitkomst.
Bij een snelheid is de uitkomst de netto verplaatsing.
Bij een snelheid die van teken wisselt is de afgelegde weg iets anders dan de netto verplaatsing.
Bij een debiet is de uitkomst de hoeveelheid die in het tijdsinterval is bijgekomen of verdwenen.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Een voorwerp beweegt met snelheid v(t) = 20 − 4t in m/s, met t in s, van t = 0 tot t = 8. Wat betekent de uitkomst van ∫ van 0 tot 8 van v(t) dt?
- 1
Een primitieve van 20 − 4t is 20t − 2t².
Veelgemaakte fouten
Je haalt het teken weg en denkt dat de integraal altijd een positieve oppervlakte is. Kijk eerst of de grafiek onder de x-as ligt en tel dat deel negatief mee.
Je geeft de uitkomst zonder eenheid of met de verkeerde eenheid. Vermenigvuldig de eenheden van f(x) en x en zet die bij het antwoord.
Je verwart de netto verandering met de totale hoeveelheid. Let op of de vraag naar de netto verplaatsing of naar de afgelegde weg vraagt.
Snel checken
Het debiet van een pomp is f(t) in liter per minuut, met t in minuten. Er geldt ∫ van 0 tot 10 van f(t) dt = 300. Wat betekent dit?
Een voorwerp heeft snelheid v(t) in m/s op het interval van t = 0 tot t = 6. Er geldt ∫ van 0 tot 6 van v(t) dt = 0. Wat betekent dit?