Meetkundige eigenschappen bewijzen met algebra
Met algebra kun je eigenschappen van figuren bewijzen, zonder alleen te tekenen of te meten. Bij bewijsopgaven in het centraal examen komt dit regelmatig voor.
Bij meetkunde kun je een figuur in een assenstelsel zetten. Dan krijgt elk hoekpunt coördinaten. Met die coördinaten reken je eigenschappen uit in plaats van ze alleen af te lezen.
Het werkt in drie stappen. Kies eerst een handige ligging van de figuur, bijvoorbeeld met het middelpunt in de oorsprong of een zijde op de x-as. Zet daarna de eigenschap die je wilt bewijzen om in een rekenregel. Reken die regel tot slot uit met letters, zodat hij voor alle punten tegelijk geldt.
Twee hulpmiddelen komen vaak terug. Met vectoren zie je evenwijdigheid en loodrechte stand. Twee vectoren staan loodrecht als hun inproduct nul is. Met de afstandsformule bewijs je gelijke lengtes. Het midden van lijnstuk AB heeft als coördinaten het gemiddelde van de coördinaten van A en B.
Een tekening of een paar getallen is geen bewijs. Een getal geldt alleen voor dat ene geval. Met letters geldt de redenering voor elk geval.
- Plaats de figuur zo dat de berekeningen eenvoudig worden.
- Gebruik letters als coördinaten, bijvoorbeeld P(p, q).
- Sluit af met een zin die zegt wat je hebt bewezen.
Onthoud
Een slimme ligging van de figuur houdt de berekeningen kort.
Twee vectoren staan loodrecht als hun inproduct nul is.
Gelijke lengtes bewijs je met de afstandsformule.
Met letters als coördinaten geldt het bewijs voor alle gevallen.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Bewijs dat hoek APB altijd 90 graden is, als A en B de uiteinden van een middellijn zijn en P een punt op de cirkel.
- 1
De cirkel heeft middelpunt O in de oorsprong en straal r. Dan zijn A(-r, 0) en B(r, 0) de uiteinden van de middellijn.
Veelgemaakte fouten
Een tekening met een paar getallen als bewijs gebruiken. Werk met letters, dan geldt de redenering voor alle gevallen.
Het beginpunt van een vector verwisselen. Schrijf PA en PB eerst op met P als beginpunt, dan rekent het netjes door.
Bij loodrechte stand alleen naar de figuur kijken. Reken het inproduct uit en controleer of het nul is.
Snel checken
Vierhoek ABCD is een parallellogram met A(0, 0), B(4, 1) en D(1, 3). Wat zijn de coördinaten van C?
Gegeven zijn A(-3, 0), B(3, 0) en P(0, 3). Hoe groot is hoek APB?