Lijnen omrekenen tussen vergelijking, parametervoorstelling en vectorvoorstelling
Een lijn in het vlak kun je op drie manieren opschrijven. Voor het examen moet je snel kunnen wisselen tussen die drie vormen.
Een lijn in het vlak heeft drie vormen. In de vergelijking staat een verband tussen x en y, zoals 2x + 3y = 6. In de parametervoorstelling staan x en y allebei los van t, zoals x = 3t en y = 2 − 2t. In de vectorvoorstelling staat hetzelfde in één keer: (x, y) = (0, 2) + t·(3, −2).
Het omrekenen hangt af van de richting waarin je werkt.
- Van vergelijking naar parametervoorstelling: zoek eerst een punt op de lijn, bijvoorbeeld door x = 0 in te vullen. Lees daarna een richtingsvector af. Bij ax + by = c is (−b, a) een richtingsvector, want die staat loodrecht op de normaalvector (a, b).
- Van parametervoorstelling naar vergelijking: los t op uit één van de twee vergelijkingen. Vul die uitdrukking in de andere vergelijking in. Dan blijft er een verband tussen x en y over.
De vectorvoorstelling is dezelfde parametervoorstelling, alleen korter geschreven. Het beginpunt is een punt op de lijn en de richtingsvector staat bij t.
Controleer je antwoord altijd met een punt. Een punt van de nieuwe vorm moet ook in de oude vergelijking kloppen.
Onthoud
Een lijn kun je schrijven als vergelijking, parametervoorstelling of vectorvoorstelling.
Bij ax + by = c staat de normaalvector (a, b) loodrecht op de lijn.
Een richtingsvector van die lijn is (−b, a), of ook (b, −a).
Bij het omrekenen naar een vergelijking elimineer je de parameter t.
Met een punt op de lijn controleer je of het antwoord klopt.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Gegeven is de lijn k met vergelijking 3x − 4y = 12. Geef een parametervoorstelling en een vectorvoorstelling van k.
- 1
Het snijpunt met de x-as vind je door y = 0 te nemen. Dan volgt 3x = 12, dus x = 4.
Veelgemaakte fouten
Gebruik de normaalvector (3, −4) niet als richtingsvector, maar kies een vector loodrecht erop, zoals (4, 3).
Een richtingsvector alleen bepaalt de richting, dus zet altijd ook een punt van de lijn als beginpunt neer.
Los t op uit één vergelijking en vul dat in de andere in, want terugsubstitueren in dezelfde vergelijking levert niets op.
Snel checken
Welke vectorvoorstelling hoort bij de lijn met vergelijking 2x + 5y = 10?
Gegeven is de parametervoorstelling x = 2 − 3t en y = 1 + t. Welke vergelijking hoort bij deze lijn?