Vraag 16Jaarringen
Uitwerkbijlage
Print de uitwerkbijlageDeze vraag beantwoord je op de uitwerkbijlage. Print hem en vul hem in, of neem de figuur over op papier. Stuur daarna een foto van wat je hebt ingevuld.
Schreef je op papier? Maak een foto van de ingevulde uitwerkbijlage. Je foto blijft privé en de nakijker leest hem. Zet je naam er niet op.
Hoe pak je dit aan?
- Bekijk de grafiek van D en zoek het punt waar de lijn het minst steil loopt, dat is waar de groei het traagst is.
- Let op dat de groeisnelheid de helling van de grafiek van D is, dus niet de diameter zelf.
- Gebruik de grafische rekenmachine om de afgeleide van D te laten berekenen bij de tijd die bij jouw gekozen punt hoort.
- Zoek daarna het minimum van die afgeleide, en kijk of je de tijd zo kiest dat het niet bij punt A ligt.
Hier verliezen leerlingen punten
- Geef de tijd van het minimum van de grafiek van D aan, en niet de laagste waarde van D zelf.
- Rond af op twee decimalen, en let erop dat je de waarde in cm per jaar opschrijft.
- Beschrijf in je uitleg hoe je de GR gebruikt, want alleen een getal zonder werkwijze levert geen punt op.
Met een gratis account wordt je antwoord nagekeken per scorepunt, volgens het officiële correctievoorschrift. Wat je hier typt, blijft bewaard.
De vraag als tekst
Op de foto zie je een doorgezaagde boomstam. foto Hierin zijn zogenaamde jaarringen te zien. Deze ontstaan doordat de boom in de zomer snel groeit: dan wordt er licht gekleurd hout gevormd. In de winter groeit de boom langzaam en wordt er donker gekleurd hout gevormd. Zo komt er elk jaar een ring bij, die uit een licht en een donker gedeelte bestaat: een jaarring. In deze opgave kijken we eerst naar de groeisnelheid van de diameter ( G ) van een grove den. Omdat een boom afwisselend snel en langzaam groeit, kun je deze groeisnelheid modelleren met behulp van sinusoïden. Voor de groeisnelheid van de diameter van een grove den gelden de volgende eigenschappen: − de groeisnelheid is drie maanden na het ontkiemen van het zaadje maximaal; − de groeisnelheid is negen maanden na het ontkiemen minimaal; − dit patroon herhaalt zich elk jaar; − de maximale groeisnelheid is 2,1 cm per jaar; − de minimale groeisnelheid is 0,3 cm per jaar. Voor de groeisnelheid van de grove den kun je op basis van deze eigenschappen een formule opstellen van de vorm G = a + b sin( c ( t − d )) . Hierin is G de groeisnelheid in cm per jaar en t de tijd in jaren na het ontkiemen.
Nu bekijken we de diameter van de stam van deze grove den. Daarbij kan de volgende formule worden opgesteld: D = 1,2 t + 0,14 + 0,14sin(2π( t − 0,25)) Hierin is D de diameter van de stam in cm en t de tijd in jaren na het ontkiemen met t = 0 op het moment van ontkiemen. De grafiek van D is in de figuur getekend. De grafiek staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. figuur D 7 in cm 6 5 4 3 2 A 1 0 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 t in jaren
In de grafiek is te zien dat de diameter schommelt rondom een lijn. De formule van deze lijn is T =1,2 t +0,14 . In plaats van de diameter te berekenen met de formule voor D is deze ook te benaderen met behulp van de formule van de lijn. Deze benadering zal in de meeste gevallen iets afwijken van de diameter volgens de formule van D .
De diameter van de grove den groeit in de eerste zes maanden na het ontkiemen meer dan in de tweede zes maanden na het ontkiemen. Dat wisselen van groeisnelheid herhaalt zich zo in de jaren daarna.
In het begin van deze opgave staat vermeld dat de groeisnelheid van de diameter G na negen maanden ( t = 0,75 ) minimaal is, namelijk 0,3 cm per jaar. De minimale groeisnelheid bij t = 0,75 die met de formule van D berekend wordt (zie punt A in de grafiek), is niet precies gelijk aan 0,3 cm per jaar.
Geef in de grafiek van D op de uitwerkbijlage nog een ander punt dan punt A aan waar de groeisnelheid volgens de formule van D minimaal is en bereken de minimale groeisnelheid in cm/jaar met de grafische rekenmachine. Rond je antwoord af op twee decimalen.