Extreme waarden van een functie
Een extreme waarde is een hoogste of laagste punt van een grafiek, zoals een top of een dal. Met de afgeleide vind je die punten zonder de grafiek precies te tekenen.
Een functie heeft een top als de grafiek van stijgend naar dalend gaat. Een dal is precies andersom: de grafiek gaat van dalend naar stijgend.
In een top of dal loopt de grafiek even horizontaal. De helling is dan nul, dus f'(x) = 0. Zo'n punt is alleen een extreme waarde als f' van teken wisselt.
Bekijk daarom het teken van f'(x) links en rechts van elk nulpunt:
- Van positief naar negatief: maximum.
- Van negatief naar positief: minimum.
- Geen tekenwisseling: geen extreme waarde.
Vul de x-waarde van het extreme punt daarna in in f. Dat levert de y-waarde op.
Onthoud
Een extreme waarde is een top of een dal van de grafiek.
In een top of dal is de afgeleide nul.
Het teken van f' rond dat punt laat zien of het een maximum of minimum is.
Met de x-waarde in f(x) reken je de bijbehorende y-waarde uit.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Bereken de extreme waarden van f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2.
- 1
De afgeleide is f'(x) = 3x² − 6x − 9.
Veelgemaakte fouten
Een nulpunt van f' is niet automatisch een top of dal. Controleer altijd of het teken van f' verandert.
Het antwoord bestaat uit een punt met x- en y-waarde. Reken de y-waarde dus altijd uit met f(x).
Snel checken
Bij welke x-waarde heeft f(x) = x³ − 3x een maximum?
Heeft f(x) = x³ een extreme waarde bij x = 0?