Afgeleide: somregel, verschilregel, productregel en quotiëntregel
Met deze regels bepaal je de afgeleide van functies die uit meerdere delen bestaan. Bij het examen gebruik je ze in formules uit de praktijk, zoals bij de wielrenner in deze opgave.
Bij een som of een verschil leid je de termen los van elkaar af. De somregel zegt dat de afgeleide van f + g gelijk is aan f' + g'. De verschilregel werkt hetzelfde, maar met een minteken: de afgeleide van f − g is f' − g'.
Bij een product of een quotiënt mag je de afgeleiden van de losse delen niet met elkaar vermenigvuldigen of delen. Dan gebruik je de productregel of de quotiëntregel.
- Productregel: (f·g)' = f'·g + f·g'
- Quotiëntregel: (f/g)' = (f'·g − f·g') / g²
De quotiëntregel is het lastigst. Let op de volgorde in de teller. Eerst f' maal g, dan min f maal g'. De noemer is g in het kwadraat. Werk de teller daarna zo ver mogelijk uit, want dan zie je het veranderingsgedrag het best.
Onthoud
De somregel en de verschilregel leid je per term af.
Bij een product tel je op: eerste maal de afgeleide van de tweede, plus tweede maal de afgeleide van de eerste.
Bij een breuk gebruik je de quotiëntregel, met de noemer in het kwadraat.
Een constante factor blijft gewoon voor de afgeleide staan.
Werk de teller na het differentiëren uit en vereenvoudig die zo ver mogelijk.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Je moet laten zien dat de formule voor dK/dp volgt uit K = 0,1·p² / (p − 50). Daarvoor gebruik je de quotiëntregel.
- 1
Schrijf K als breuk met teller u = 0,1·p² en noemer v = p − 50.
Veelgemaakte fouten
Trek de afgeleiden van teller en noemer niet gewoon van elkaar af. Gebruik de volledige quotiëntregel met u'·v − u·v' in de teller.
Let op het minteken in de teller. Het tweede deel is u·v', en dat deel krijgt altijd een minteken.
Snel checken
Wat is de afgeleide van f(x) = x / (x + 1)?
Wat is de afgeleide van f(x) = x²·(2x − 1)?