Extreme waarden met de afgeleide
Met de afgeleide vind je waar een functie een maximum of minimum heeft. Dit gebruik je ook om te bepalen wanneer iets het snelst toeneemt.
Een functie heeft een extreme waarde op een plaats waar de afgeleide nul is. Bij een maximum gaat de grafiek van stijgend naar dalend. De afgeleide wisselt dan van positief naar negatief.
Soms moet je het maximum van de afgeleide zoeken in plaats van van de functie zelf. Dat gaat op dezelfde manier. Je bepaalt de afgeleide van de afgeleide en zoekt waar die nul is.
Met de tweede afgeleide controleer je de soort extreme waarde. Is de tweede afgeleide negatief op die plaats, dan is het een maximum. Is hij positief, dan is het een minimum.
Bij gehele getallen kijk je ook naar de waarden van de functie zelf. Een uitkomst zoals t = 8,43 geeft niet direct het jaar. Dan vergelijk je de functiewaarden voor de hele getallen eromheen.
Onthoud
Een extreme waarde ligt op een plaats waar de afgeleide nul is.
Het tekenverloop van de afgeleide laat zien of het een maximum of minimum is.
De tweede afgeleide controleert de soort extreme waarde.
Bij een grootste toename zoek je het maximum van de afgeleide.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
In welk jaar komt het meeste plastic afval in het milieu terecht, met W als hoeveelheid in het milieu en t in jaren vanaf 2015?
- 1
Het meeste afval komt terecht in het jaar met de grootste toename van W. Dat is waar de afgeleide dW/dt maximaal is.
Veelgemaakte fouten
Bij een grootste toename zoek je het maximum van de afgeleide, niet van de functie zelf.
Een nulpunt van de afgeleide is niet altijd een extreme waarde. Controleer met het tekenverloop of de tweede afgeleide.
Een uitkomst als t = 8,43 levert niet direct het antwoord op. Kijk naar de hele getallen 8 en 9 eromheen.
Snel checken
Bij welke x heeft de functie f(x) = x³ − 3x een lokaal maximum?
Wat is de kleinste waarde van de functie f(x) = x² − 4x + 7?