De afgeleide als momentane verandering
In een probleemsituatie wil je vaak weten hoe snel iets verandert op één bepaald moment. De afgeleide geeft dat antwoord, en met de afgeleide kun je over zo'n situatie redeneren.
De afgeleide van een functie geeft de momentane verandering aan. Op de grafiek is het de steilheid van de grafiek op één punt.
De gemiddelde verandering reken je uit over een interval: (f(b) − f(a)) / (b − a). Maak je het interval steeds kleiner, dan nadert die gemiddelde verandering een grenswaarde. Die grenswaarde is de afgeleide f'(a).
In een probleemsituatie betekent f'(a) de verandering van de grootheid op het moment a. De eenheid van f'(a) is de eenheid van de uitvoer per eenheid van de invoer. Bij een bak water is dat bijvoorbeeld liter per minuut.
Voor het bepalen van een afgeleide gebruik je rekenregels. Bij een machtsfunctie vermenigvuldig je met de macht en verlaag je de macht met 1. Een constante term verdwijnt, en bij een som differentieer je de termen afzonderlijk.
Met het teken van de afgeleide beschrijf je het gedrag. Is f'(a) positief, dan neemt de functie op dat moment toe. Is f'(a) negatief, dan neemt ze af.
Onthoud
De afgeleide f'(a) is de momentane verandering van f op het moment a.
Het differentiequotiënt over een steeds kleiner interval benadert de afgeleide.
Bij een machtsfunctie krijg je de afgeleide door de macht als factor te nemen en de macht met 1 te verlagen.
Een positieve afgeleide betekent dat de functie stijgt, een negatieve dat ze daalt.
De eenheid van de afgeleide is de eenheid van de uitvoer per eenheid van de invoer.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Een bak wordt gevuld. Na t minuten zit er V(t) = 0,4t² + 3t liter water in de bak. Hoe snel stroomt het water op het moment t = 10 de bak in?
- 1
Met de machtsregel geeft 0,4t² als afgeleide 0,8t, en 3t geeft 3.
Veelgemaakte fouten
Verwar f'(a) niet met f(a). De afgeleide is de steilheid op a, niet de hoogte van de grafiek op a.
Bij 3x² hoort de afgeleide 6x, niet 3x. De macht 2 wordt een factor, en de macht zelf wordt 1 lager.
Een gemiddelde verandering over een interval is iets anders dan een momentane verandering. Gebruik de afgeleide alleen voor één moment.
Snel checken
Een functie f geeft de hoeveelheid water in een bak in liter, met t in minuten. Wat betekent f'(5) = 2?
Wat is de afgeleide van f(x) = 3x² − 4x?