Vraag 8Oppervlakte onder een grafiek
Schreef je op papier? Maak een foto van je uitwerking op papier. Je foto blijft privé en de nakijker leest hem. Zet je naam er niet op.
Met een gratis account wordt je antwoord nagekeken per scorepunt, volgens het officiële correctievoorschrift. Wat je hier typt, blijft bewaard.
De vraag als tekst
De functie f is gegeven door f ( x ) = 1 x 2 + x + 1 . 4 De grafiek van f is een parabool.
De lijn m is de verticale lijn met vergelijking x = p , met p > 0 . We kijken naar het gebied dat aan de bovenkant wordt begrensd door de grafiek van f , aan de onderkant door de x -as, aan de linkerkant door de y- as en aan de rechterkant door lijn m . In figuren 1 en 2 is dit gebied grijs gemaakt: in figuur 1 voor de situatie p = 1 , in figuur 2 voor de situatie p = 2 . figuur 1 figuur 2 De oppervlakte van dit grijze gebied noemen we A . De waarde van A hangt dus af van de keuze van p . Een formule voor A is: 3 A = 2 1 p + 1 − 2 3 2 3 Zo is bijvoorbeeld A = 4 2 als p = 2 en dus is de oppervlakte van het 3 grijze gebied in figuur 2 gelijk aan 4 2 . 3 Voor een bepaalde waarde van p is de oppervlakte van het grijze gebied gelijk aan 42.
Zonder de voorgaande formule te gebruiken kun je toch een goede benadering vinden van de oppervlakte. In de rest van de opgave doen we dit voor het geval p = 1 . De benadering van de oppervlakte van het grijze gebied in figuur 1 gaat als volgt: − De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt R 1 , 1 9 . 2 16 − K is het snijpunt van lijn l met de y -as. − M is het snijpunt van lijn l en lijn m . − S is het punt met coördinaten (1, 0) . − De oppervlakte van vierhoek OSMK is de benadering. Zie figuur 3, waarin de oppervlakte van vierhoek OSMK grijs is gemaakt. figuur 3 Een vergelijking van l is y = 1 1 x + 15 . 4 16
Bewijs dat y = 1 1 x + 15 inderdaad een vergelijking van l is. 4 16