De vergelijking van een lijn en een cirkel opstellen
Een lijn en een cirkel zijn de basisfiguren in het coördinatenstelsel. Met hun vergelijking kun je met algebra snijpunten, afstanden en andere vragen uitrekenen.
Lijn
Een lijn schrijf je meestal als y = ax + b. Hierin is a de richtingscoëfficiënt en b het snijpunt met de y-as.
Heb je twee punten, dan reken je eerst a uit met a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Daarna vul je één van de punten in om b te vinden.
Cirkel
Een cirkel met middelpunt (p, q) en straal r heeft de vergelijking (x − p)² + (y − q)² = r². Let op de tekens. Het middelpunt lees je met het tegengestelde teken af uit de vergelijking.
Ken je het middelpunt en een punt op de cirkel, dan is r² gelijk aan het kwadraat van de afstand tussen die twee punten. Zo vind je de straal zonder de vergelijking te raden.
Onthoud
Een lijn schrijf je als y = ax + b, met a de richtingscoëfficiënt.
Met twee punten reken je a uit als (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
Een cirkel met middelpunt (p, q) en straal r heeft (x − p)² + (y − q)² = r².
Het middelpunt lees je met het tegengestelde teken af uit de vergelijking.
Voor r² reken je het kwadraat van de afstand tot een punt op de cirkel uit.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt M(3, −2) die door het punt P(7, 1) gaat.
- 1
Het middelpunt is M(3, −2), dus p = 3 en q = −2.
Veelgemaakte fouten
Bij het middelpunt het teken verkeerd lezen. In (x + 2)² is p = −2, niet 2.
Bij de cirkel r in plaats van r² in het rechterlid zetten. Bij straal 5 staat er 25.
Bij de richtingscoëfficiënt Δx en Δy omdraaien. Reken altijd a = Δy / Δx uit.
Snel checken
Welke vergelijking hoort bij een cirkel met middelpunt (2, −3) en straal 4?
Een lijn gaat door de punten (0, 5) en (2, 1). Welke vergelijking heeft de lijn?