Lijn en cirkel: hoeveel gemeenschappelijke punten
Een lijn en een cirkel hebben nul, één of twee gemeenschappelijke punten. Met een vergelijking kun je precies bepalen welk geval er geldt, en dat komt in het examen vaak terug.
Gemeenschappelijke punten vind je door de lijn in de vergelijking van de cirkel in te vullen. Zo ontstaat een kwadratische vergelijking in x.
De discriminant D = b² − 4ac vertelt hoeveel oplossingen die vergelijking heeft. Als D positief is, zijn er twee snijpunten en snijdt de lijn de cirkel. Als D nul is, is er precies één snijpunt en raakt de lijn de cirkel. Als D negatief is, zijn er geen snijpunten.
Bij een bewijs moet je de berekening netjes opschrijven. Eerst de substitutie, dan het herleiden tot de vorm ax² + bx + c = 0, en daarna de discriminant. Pas op dat je de conclusie erbij zet. Een goede conclusie noemt de waarde van D en zegt wat dat betekent voor de lijn en de cirkel.
- Substitutie geeft een vergelijking in x
- Herleiden naar ax² + bx + c = 0
- D berekenen en de conclusie geven
Onthoud
Vul de lijn in de cirkelvergelijking in om de snijpunten te vinden
Het aantal oplossingen van de kwadratische vergelijking is het aantal snijpunten
D groter dan nul betekent twee snijpunten, D gelijk aan nul betekent raken, D kleiner dan nul betekent geen snijpunten
Schrijf bij een bewijs de discriminant met de getallen erin op
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bewijs dat lijn k de cirkel c raakt. De cirkel is x² − 4x + y² − 6y = −8 en de lijn is y = ½x + 4½.
- 1
Vul y = ½x + 4½ in bij de vergelijking van de cirkel
Veelgemaakte fouten
Leerlingen vergeten de haakjes van (½x + 4½)² uit te werken, schrijf het altijd volledig uit voordat je herleidt.
Een negatief teken bij b of c vergeten maakt de discriminant fout, controleer daarom de herleide vergelijking nog een keer.
Een D gelijk aan nul noemen als er 'geen oplossing' staat, terwijl het precies één snijpunt betekent, dus de lijn raakt de cirkel.
Snel checken
Lijn y = 2 snijdt de cirkel x² + y² = 25. Hoeveel gemeenschappelijke punten hebben ze?
Lijn x + y = 4 en de cirkel x² + y² = 8. Hoeveel gemeenschappelijke punten hebben ze?