Differentiequotiënten als gemiddelde verandering
Een differentiequotiënt laat zien hoe sterk de waarde van een functie gemiddeld verandert op een interval. Dit onderwerp komt terug in veel examenvragen over grafieken, tabellen en formules.
Een functie beschrijft hoe een grootheid verandert als de invoer verandert. Kijk je naar een interval van a tot b, dan wil je weten hoe de functiewaarde gemiddeld verandert per eenheid van de invoer. Dat gemiddelde noem je het differentiequotiënt op dat interval.
Je berekent het met deze formule: Δy/Δx = (f(b) − f(a)) / (b − a). Hier is Δy de verandering van de functiewaarde en Δx de verandering van de invoer. Het differentiequotiënt is dus de gemiddelde verandering van f over het interval [a, b].
Meetkundig gezien is het de richtingscoëfficiënt van de lijn door de punten (a, f(a)) en (b, f(b)) op de grafiek. Een positief getal betekent gemiddelde toename. Een negatief getal betekent gemiddelde afname. De eenheid is de eenheid van y per eenheid van x. Bij een afstand in meters en een tijd in seconden is het differentiequotiënt dus een gemiddelde snelheid in meter per seconde.
Het differentiequotiënt zegt niets over wat er binnen het interval precies gebeurt. Het gaat om het verschil tussen het begin en het eind.
Onthoud
Het differentiequotiënt op [a, b] is (f(b) − f(a)) / (b − a).
Het teken laat zien of de functie gemiddeld toeneemt of afneemt.
Meetkundig is het de richtingscoëfficiënt van de lijn door twee punten van de grafiek.
De eenheid is de eenheid van de functiewaarde per eenheid van de invoer.
Het gaat om de gemiddelde verandering, niet om de verandering op één moment.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Een voorwerp legt na t seconden de afstand s(t) = t² meter af. Bereken het differentiequotiënt op het interval van t = 1 tot t = 4 en geef de betekenis.
- 1
Het interval is [1, 4], dus a = 1 en b = 4.
Veelgemaakte fouten
Je deelt door b en a in plaats van door b − a. Reken eerst het verschil Δx uit en deel daar door.
Je noemt het getal een snelheid op één moment. Het is de gemiddelde verandering over het hele interval.
Je trekt de waarden in de verkeerde volgorde af. Neem altijd de waarde bij het eind min de waarde bij het begin.
Snel checken
Gegeven is f(x) = x³. Wat is het differentiequotiënt op het interval [0, 2]?
De temperatuur T in graden Celsius is op tijdstip t in uren gegeven. Er geldt T(0) = 20 en T(3) = 14. Welke uitspraak past bij het differentiequotiënt op [0, 3]?