Lokale veranderingen met de afgeleide
Met de afgeleide kun je zien hoe een functiewaarde verandert als x een klein beetje verandert. Bij het examen moet je zulke conclusies kunnen trekken, met een formule of met de grafiek.
De afgeleide f'(a) vertelt hoe snel de functiewaarde verandert in de buurt van x = a. Daarmee schat je een kleine verandering van x in.
Met het differentiaalquotiënt
Wil je weten hoeveel f verandert als x met Δx verandert, dan gebruik je Δf ≈ f'(a) · Δx. Dit is een benadering. Hoe kleiner Δx, hoe beter de schatting klopt.
Het teken van f'(a) geeft de richting aan. Is f'(a) positief, dan neemt f toe. Is f'(a) negatief, dan neemt f af. Is f'(a) nul, dan verandert f op dat moment bijna niet.
Met een numeriek-grafische methode
Zonder formule kun je ook de grafiek gebruiken. Zo wordt het beeld duidelijk:
- Teken de raaklijn in het punt op de grafiek.
- Lees de stijging van die raaklijn af over een klein stukje.
- Het verschil in de y-waarden is dan de schatting van de verandering.
De uitkomst van beide methoden zou dicht bij elkaar moeten liggen. Als dat niet zo is, heb je ergens een fout gemaakt.
Onthoud
De afgeleide f'(a) geeft de verandering van f per eenheid van x, dicht bij x = a.
Δf ≈ f'(a) · Δx geeft de geschatte verandering van de functiewaarde.
Een positieve afgeleide betekent dat f toeneemt, een negatieve dat f afneemt.
Met de raaklijn in de grafiek kun je dezelfde schatting maken zonder formule.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Gegeven is f(x) = x³ − 3x. Schat de verandering van f als x van 2 naar 2,1 gaat.
- 1
De afgeleide is f'(x) = 3x² − 3.
Veelgemaakte fouten
Veel leerlingen rekenen met de functiewaarde in plaats van met de afgeleide. Gebruik bij de schatting altijd f'(a) en niet f(a).
Let op het teken van de verandering. Een negatieve afgeleide betekent dat de functiewaarde daalt als x toeneemt.
De schatting Δf ≈ f'(a) · Δx geldt alleen voor een kleine Δx. Bij een grote Δx wordt de benadering onnauwkeurig.
Snel checken
Gegeven is g(x) = x² − 4x. Hoeveel verandert g ongeveer als x van 3 naar 3,05 gaat?
Gegeven is h(x) = 1/x. Hoeveel verandert h ongeveer als x van 2 naar 2,4 gaat?