Raaklijn met een gegeven helling
Met de afgeleide vind je de plek op een grafiek waar de raaklijn een bepaalde helling heeft. Je gebruikt dit bij veel vragen over grafieken in het examen.
Een raaklijn raakt de grafiek van f in één punt. De helling van die raaklijn is de afgeleide f'(a) in het punt waar x gelijk is aan a.
Wil je een raaklijn met een gegeven helling k, dan los je de vergelijking f'(x) = k op. Elke oplossing x = a hoort bij een punt (a, f(a)) waar de raaklijn helling k heeft. Bij een tweedegraads functie is dat vaak één punt. Bij een derdegraads functie kunnen het er twee zijn.
Daarna stel je de raaklijn op. Met het punt (a, f(a)) en de helling k geldt y − f(a) = k(x − a). Als je de haakjes uitwerkt, staat de raaklijn in de vorm y = kx + b.
Alle afgeleiden reken je uit met de differentieerregels. Daarna los je de vergelijkingen algebraïsch op.
Onthoud
De helling van de raaklijn in x = a is f'(a).
Een raaklijn met helling k vind je door f'(x) = k op te lossen.
Elke oplossing geeft een eigen raaklijn met een eigen punt.
Met het punt (a, f(a)) en de helling k stel je de vergelijking y − f(a) = k(x − a) op.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Gegeven is f(x) = x³ − 3x. Bepaal de punten waar de raaklijn aan de grafiek helling 9 heeft en stel de vergelijkingen van die raaklijnen op.
- 1
Eerst de afgeleide: f'(x) = 3x² − 3.
Veelgemaakte fouten
Het gebeurt vaak dat leerlingen f(x) gelijk stellen aan k in plaats van f'(x). Zet de afgeleide gelijk aan k, dan klopt het.
Alleen de helling is niet genoeg voor een raaklijn. Gebruik ook het punt (a, f(a)) in de vergelijking.
Bij twee oplossingen vergeten sommigen één van de punten. Reken f(a) voor elke oplossing apart uit.
Snel checken
Gegeven is f(x) = x² + 4x. In welk punt van de grafiek is de helling van de raaklijn gelijk aan 0?
Gegeven is g(x) = x² − 2x. Voor welke waarde van x is de helling van de raaklijn gelijk aan 4?