Vraag 7Letter op het computerbeeldscherm
Schreef je op papier? Maak een foto van je uitwerking op papier. Je foto blijft privé en de nakijker leest hem. Zet je naam er niet op.
Hoe pak je dit aan?
- Bij deze vraag schrijf je eerst de coördinaten van OA, OB en OC op uit de opgave.
- Daarna vul je die vectoren in de formule voor OR in en werk je elke component apart uit.
- Met de haakjes uitgewerkt krijg je per component een uitdrukking in t, die je netjes ordent.
- Tot slot zet je die twee uitdrukkingen naast de gegeven x(t) en y(t) en trek je je conclusie.
Hier verliezen leerlingen punten
- Bij het wegwerken van de haakjes raken leerlingen soms een term kwijt, dus controleer elke kwadraat- en productterm.
- Zonder tussenstappen is een bewijs niet te volgen, dus schrijf de vectorcomponenten en de herleiding volledig uit.
- Een bewijs eindigt met een duidelijke conclusie, dus zeg er zelf expliciet bij wat je hebt aangetoond.
Met een gratis account wordt je antwoord nagekeken per scorepunt, volgens het officiële correctievoorschrift. Wat je hier typt, blijft bewaard.
De vraag als tekst
De rand van een letter op een computerbeeldscherm is een aaneenschakeling van meerdere krommen. Zo is de rand van de (uitvergrote) letter ‘a’ in figuur 1 gemaakt met behulp van zestien krommen, die je in figuur 2 ziet. figuur 1 figuur 2 figuur 3 figuur 4 Elk van de zestien krommen kan met een formule worden beschreven. Computers hebben die formules nodig om de letters op het scherm te kunnen tekenen. Als voorbeeld bekijken we de kromme K tussen A en B , die in figuur 2 dikker is getekend. We gaan ervan uit dat er vier gegevens bekend zijn: − de coördinaten van A ; − de coördinaten van B ; − de richting van de raaklijn in A aan de kromme; − de richting van de raaklijn in B aan de kromme. Zie figuur 3. De vraag is nu hoe je uit deze vier gegevens een formule voor de kromme K maakt. In figuur 4 zie je de punten A en B en de twee raaklijnen, geplaatst in een assenstelsel. Gegeven is dat A de coördinaten ( 1 , 4 ) heeft, B de 15 3 coördinaten ( 1, 19 ) , dat de raaklijn in B horizontaal is en dat de 10 richtingscoëfficiënt van de raaklijn in A gelijk is aan 4. Het punt C is het snijpunt van de twee raaklijnen en speelt een belangrijke rol bij de constructie van de kromme K .
Om de kromme K te kunnen construeren, worden er, behalve de drie vaste punten A , B en C , drie bewegende punten P , Q en R gebruikt. Deze bewegen als volgt: − Punt P beweegt voor 0 ≤≤ t 1 met een constante snelheid over lijnstuk υυυρ υυυρ υυυρ AC van A naar C . Er geldt: OP = OA + t ⋅ AC − Punt Q beweegt voor 0 ≤≤ t 1 met een constante snelheid over lijnstuk υυυρ υυυρ υυυρ CB van C naar B . Er geldt: OQ = OC + t ⋅ CB − Terwijl punten P en Q bewegen, schuift punt R op het bewegende υυυρ υυυρ υυυρ lijnstuk PQ van P naar Q . Er geldt: OR = OP + t ⋅ PQ Het punt R doorloopt van t = 0 tot t = 1 een kromme van A naar B . Deze kromme wordt de Bézierkromme (van A , B en C ) genoemd, en dat is kromme K uit figuur 2. Figuur 4 is op de uitwerkbijlage uitvergroot weergegeven.
υυυρ υυυρ υυυρ υυυρ OR is uit te drukken in t , OA , OB en OC . Er geldt voor elke waarde van t : υυυρ υυυρ υυυρ υυυρ 2 2 OR = (1 − t ) ⋅ OA + t ⋅ OB + 2 t (1 − t ) ⋅ OC
In de rest van deze opgave kijken we naar een ander voorbeeld. Het gaat niet meer om de letter ‘a’. De coördinaten van A , B en C zijn nu als volgt: A (0, 4) , B (2, 2) en C (3, 0) . Ook nu is C het snijpunt van de raaklijnen in A en B. υυυρ De Bézierkromme van A , B en C is, volgens de formule voor OR , te beschrijven met behulp van vectoren. Het is echter ook mogelijk deze Bézierkromme met bewegingsvergelijkingen te beschrijven. We bekijken het punt L met de volgende figuur 5 bewegingsvergelijkingen: x ( t ) = − 4 t 2 + 6 t met 0 ≤≤ t 1 2 y ( t ) = 6 t − 8 t + 4 De baan van L is weergegeven in figuur 5. Er geldt: de baan van L is de Bézierkromme die hoort bij de punten A , B en C . υυυρ
Bewijs dit met behulp van de formule voor OR .