Vraag 6Letter op het computerbeeldscherm
Schreef je op papier? Maak een foto van je uitwerking op papier. Je foto blijft privé en de nakijker leest hem. Zet je naam er niet op.
Hoe pak je dit aan?
- Begin bij de formule voor OR en kijk welke vectoren daarin staan.
- Vervang OP en OQ door de formules die bij de bewegende punten horen.
- Met de definities van AC en CB zet je alles om naar OA, OB en OC.
- Werk daarna de haakjes uit en orden de termen per vector, zodat je het resultaat met de gegeven formule kunt vergelijken.
Hier verliezen leerlingen punten
- Bij het uitwerken van de haakjes met t gaat er vaak een minteken verloren, dus controleer elke term apart.
- Schrijf elke tussenstap op, want een overgeslagen stap maakt het bewijs onvolledig.
- Laat zien hoe OP en OQ via PQ samenhangen, anders mist je redenering een belangrijke schakel.
Met een gratis account wordt je antwoord nagekeken per scorepunt, volgens het officiële correctievoorschrift. Wat je hier typt, blijft bewaard.
De vraag als tekst
De rand van een letter op een computerbeeldscherm is een aaneenschakeling van meerdere krommen. Zo is de rand van de (uitvergrote) letter ‘a’ in figuur 1 gemaakt met behulp van zestien krommen, die je in figuur 2 ziet. figuur 1 figuur 2 figuur 3 figuur 4 Elk van de zestien krommen kan met een formule worden beschreven. Computers hebben die formules nodig om de letters op het scherm te kunnen tekenen. Als voorbeeld bekijken we de kromme K tussen A en B , die in figuur 2 dikker is getekend. We gaan ervan uit dat er vier gegevens bekend zijn: − de coördinaten van A ; − de coördinaten van B ; − de richting van de raaklijn in A aan de kromme; − de richting van de raaklijn in B aan de kromme. Zie figuur 3. De vraag is nu hoe je uit deze vier gegevens een formule voor de kromme K maakt. In figuur 4 zie je de punten A en B en de twee raaklijnen, geplaatst in een assenstelsel. Gegeven is dat A de coördinaten ( 1 , 4 ) heeft, B de 15 3 coördinaten ( 1, 19 ) , dat de raaklijn in B horizontaal is en dat de 10 richtingscoëfficiënt van de raaklijn in A gelijk is aan 4. Het punt C is het snijpunt van de twee raaklijnen en speelt een belangrijke rol bij de constructie van de kromme K .
Om de kromme K te kunnen construeren, worden er, behalve de drie vaste punten A , B en C , drie bewegende punten P , Q en R gebruikt. Deze bewegen als volgt: − Punt P beweegt voor 0 ≤≤ t 1 met een constante snelheid over lijnstuk υυυρ υυυρ υυυρ AC van A naar C . Er geldt: OP = OA + t ⋅ AC − Punt Q beweegt voor 0 ≤≤ t 1 met een constante snelheid over lijnstuk υυυρ υυυρ υυυρ CB van C naar B . Er geldt: OQ = OC + t ⋅ CB − Terwijl punten P en Q bewegen, schuift punt R op het bewegende υυυρ υυυρ υυυρ lijnstuk PQ van P naar Q . Er geldt: OR = OP + t ⋅ PQ Het punt R doorloopt van t = 0 tot t = 1 een kromme van A naar B . Deze kromme wordt de Bézierkromme (van A , B en C ) genoemd, en dat is kromme K uit figuur 2. Figuur 4 is op de uitwerkbijlage uitvergroot weergegeven.
υυυρ υυυρ υυυρ υυυρ OR is uit te drukken in t , OA , OB en OC . Er geldt voor elke waarde van t : υυυρ υυυρ υυυρ υυυρ 2 2 OR = (1 − t ) ⋅ OA + t ⋅ OB + 2 t (1 − t ) ⋅ OC
Bewijs dit.