Exponentiële functies met beginwaarde en groeifactor
Een exponentiële functie beschrijf je met een beginwaarde en een groeifactor. Met deze twee getallen reken je groei op een spaarrekening uit en bepaal je de verdubbelingstijd.
Een exponentiële functie heeft twee getallen nodig. De beginwaarde B is het bedrag op het begin, dus op tijdstip t = 0. De groeifactor g laat zien met welk getal het bedrag per jaar wordt vermenigvuldigd.
Met die twee getallen schrijf je het bedrag na t jaar zo: N(t) = B · g^t. Hierin is N(t) het bedrag na t jaar.
Bij een rentepercentage p hoort een groeifactor. Het bedrag groeit dan elk jaar met 100 procent plus p procent. Daarom geldt g = 1 + p/100. Bij 3 procent rente is de groeifactor dus 1,03.
Bij de verdubbelingstijd T is het bedrag twee keer de beginwaarde. Dan geldt B · g^T = 2B. Na delen door B houd je over dat g^T = 2.
Om T uit de macht te halen gebruik je de logaritme. Uit g^T = 2 volgt T · ln(g) = ln(2). Deel daarna door ln(g). Zo krijg je T = ln(2) / ln(g). Vul ten slotte g = 1 + p/100 in.
Onthoud
De beginwaarde B is het bedrag op tijdstip t = 0.
De groeifactor g is gelijk aan 1 + p/100 bij een rentepercentage p.
Het bedrag na t jaar is N(t) = B · g^t.
Bij verdubbeling geldt g^T = 2, en daaruit volgt T = ln(2) / ln(g).
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bij deze vraag moet je bewijzen dat de formule T = ln(2) / ln(1 + p/100) klopt voor de verdubbelingstijd T.
- 1
Het rentepercentage is p, dus de groeifactor is g = 1 + p/100.
Veelgemaakte fouten
Je haalt de groeifactor uit het percentage door p gewoon op te tellen bij 1 zonder door 100 te delen. Schrijf g = 1 + p/100, dus 3 procent wordt 1,03.
Je verwart de beginwaarde met de groeifactor in de formule. De beginwaarde staat voor de macht, de groeifactor is het grondtal van de macht.
Snel checken
Een bedrag groeit met een groeifactor van 1,03 per jaar. Wat betekent dat?
Een beginwaarde van 200 groeit met een rentepercentage van 4 procent per jaar. Welke formule geeft het bedrag na t jaar?