Een combinatie van afgeleide-regels gebruiken
Veel functies bestaan uit meerdere delen die je achter elkaar moet differentiëren. Op het examen combineer je daarvoor vaak een som-, product- en quotiëntregel in één uitwerking.
Veel functies zijn opgebouwd uit een som, een product of een quotiënt. Vaak heb je dan meerdere regels nodig om de afgeleide te vinden.
Begin met de hoofdstructuur van de functie. Welke regel past als eerste? Bij een som differentieer je elke term apart. Bij een product of quotiënt gebruik je de productregel of quotiëntregel. Binnen die regels staan vaak weer delen die je opnieuw moet differentiëren.
Een handige volgorde is deze:
- Bepaal eerst de hoofdregel: som, product of quotiënt.
- Differentieer daarna elk deel apart.
- Vul de gevonden afgeleiden in de regel in.
- Werk de teller uit en vereenvoudig tot één breuk.
Schrijf de afgeleiden van de delen eerst op. Zo zie je beter welke teller of factor bij welke afgeleide hoort. Tot slot controleer je het teken en of de noemer klopt.
Onthoud
Een som differentieer je term voor term.
Bij een product gebruik je u'v + uv'.
Bij een quotiënt gebruik je (u'v − uv') / v².
Binnen een regel kunnen weer delen staan die je ook moet differentiëren.
Werk de uitkomst uit tot één overzichtelijke breuk.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Gegeven is f(x) = (x² + 1)/(x − 1) + 3x. Bepaal f'(x). Het eerste deel is een quotiënt en het tweede deel is een veelterm.
- 1
Met de somregel geldt f'(x) = d/dx[(x² + 1)/(x − 1)] + 3.
Veelgemaakte fouten
Je past de productregel toe door alleen de afgeleiden van de twee factoren te vermenigvuldigen. Tel in plaats daarvan u'v en uv' op.
Bij een quotiënt vergeet men het minteken of verwisselt men de volgorde van u' en v. Schrijf eerst u'v en trek daarna uv' af.
Men werkt een som niet door als één geheel. Differentieer elke term afzonderlijk en werk daarna de hele uitkomst uit.
Snel checken
Wat is de afgeleide van f(x) = x·(x² − 3)?
Wat is de afgeleide van f(x) = 3x/(x + 1)?