Controleren of F een primitieve is
Soms moet je controleren of een gegeven functie F een primitieve is van een functie f. Dat doe je door F te differentiëren en te kijken of je f krijgt.
Een functie F is een primitieve van f als de afgeleide van F gelijk is aan f. Om dat te controleren bereken je dus F'(x) en vergelijk je die met f(x).
Bij een product van twee functies gebruik je de productregel. Bij e^(ax) hoort de kettingregel, en de afgeleide van e^(ax) is a·e^(ax). Die factor a verdwijnt dus nooit zomaar.
Een primitieve is niet uniek. Als F een primitieve is, dan is F plus een constante ook een primitieve. De constante verandert de afgeleide niet, dus die hoef je bij de controle niet mee te nemen.
Daarna vergelijk je F'(x) met f(x) term voor term. Termen die elkaar opheffen streep je weg. Blijft er precies f(x) over, dan is F een primitieve van f.
Onthoud
Een primitieve controleer je door F te differentiëren en het resultaat met f te vergelijken.
Bij een product gebruik je de productregel.
De afgeleide van e^(ax) is a·e^(ax), dus de factor a moet je meenemen.
Een constante die je bij F optelt verandert niets aan de controle.
Termen die elkaar opheffen mogen tegen elkaar weggestreept worden.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Gevraagd is om te bewijzen dat F_a een primitieve is van f_a, met f_a(x) = x·e^(ax) en F_a(x) = (1/a)·x·e^(ax) − (1/a²)·e^(ax).
- 1
Bepaal F_a'(x) door de twee termen van F_a apart te differentiëren.
Veelgemaakte fouten
Je vergeet de factor a bij de afgeleide van e^(ax). Differentieer e^(ax) als a·e^(ax) en reken de factor a steeds mee.
Je differentieert alleen de eerste term van een product. Gebruik bij x·e^(ax) altijd de productregel en reken beide delen uit.
Snel checken
Welke functie is een primitieve van f(x) = x·e^(2x)?
Is F(x) = sin(3x) + 5 een primitieve van f(x) = 3·cos(3x)?