Vectoren met kentallen en de Bézierkromme
Met vectoren beschrijf je plaatsen en verschuivingen in het vlak. In deze les zie je hoe je met kentallen laat zien dat een kromme door een vectorformule wordt beschreven.
Een vector heeft een grootte en een richting. Je kunt hem ook opschrijven met kentallen, dus met de verschuiving langs de x-as en langs de y-as. Het paar (2, −1) betekent 2 naar rechts en 1 naar beneden.
Vectoren kun je optellen en met een getal vermenigvuldigen. Dat gebeurt altijd per kental. Zo geldt (1, 3) + (2, −1) = (3, 2) en 2·(1, 3) = (2, 6).
Met vectoren beschrijf je ook de plaats van een punt. Het punt R op het lijnstuk van P naar Q vind je met OR = OP + t·PQ. Voor t = 0 ben je in P en voor t = 1 in Q.
Bij een Bézierkromme gebruik je meerdere punten tegelijk. De formule OR = (1 − t)²·OA + t²·OB + 2t(1 − t)·OC geeft voor elke t tussen 0 en 1 een punt R. De gewichten tellen steeds samen op tot 1.
Om te bewijzen dat een baan gelijk is aan zo'n kromme, reken je de formule uit per kental. Daarna vergelijk je de uitkomst met de bewegingsvergelijkingen x(t) en y(t). Komen die overeen, dan is het dezelfde kromme.
Onthoud
Een vector schrijf je als kentallen, bijvoorbeeld (2, −1) voor 2 naar rechts en 1 naar beneden.
Vectoren tel je op en vermenigvuldig je met een getal door per kental te rekenen.
In de formule voor OR tellen de gewichten (1 − t)², t² en 2t(1 − t) samen op tot 1.
Met de kentallen van OR bewijs je dat een baan gelijk is aan x(t) en y(t).
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bij deze vraag moet je bewijzen dat de baan van L de Bézierkromme van A, B en C is, met de formule voor OR.
- 1
Vul de plaatsvectoren in: OA = (0, 4), OB = (2, 2) en OC = (3, 0).
Veelgemaakte fouten
Plaatsvectoren beginnen in O, dus neem de kentallen van OA, OB en OC en niet de punten zelf zonder die oorsprong.
Let op welk gewicht bij welk punt hoort: 2t(1 − t) hoort bij C, t² bij B en (1 − t)² bij A.
Het kwadraat (1 − t)² is niet gelijk aan 1 − t². Reken met (1 − t) · (1 − t) en werk de haakjes volledig uit.
Snel checken
Gegeven zijn A (0, 4), B (2, 2) en C (3, 0). Wat is de plaats van R voor t = 0,5 volgens de formule voor OR?
Gegeven zijn A (0, 4), B (2, 2) en C (3, 0). Welk punt is R voor t = 1?