Toepassingen van integreren: van snelheid naar afgelegde weg
Met een integraal reken je uit hoeveel er in totaal verandert, bijvoorbeeld de weg die iets aflegt. Dit is een veelgebruikte techniek in natuurwetenschappelijke en technische vraagstukken op het centraal examen.
Een snelheid vertelt hoe snel iets verandert. De totale verandering van de plaats krijg je door de snelheid op te tellen over de tijd. Dat optellen doe je met een integraal.
Als v(t) de snelheid op tijdstip t is, dan is de verplaatsing van t = a tot t = b gelijk aan ∫ₐᵇ v(t) dt. Dit is de netto verandering, waarbij een negatieve snelheid de beweging terug telt.
De afgelegde weg is iets anders. Die telt elke afstand mee, ook de afstand die je terug aflegt. Als v tussen a en b van teken wisselt, werk je zo:
- Bepaal de nulpunten van v tussen a en b.
- Neem per deel de integraal.
- Neem waar v negatief is de absolute waarde van die integraal.
In het examen staat de vraag vaak in woorden. Lees goed of er naar de verplaatsing of naar de afgelegde weg gevraagd wordt. Dezelfde werkwijze past ook bij andere grootheden, zoals een debiet of een groeisnelheid.
Onthoud
Een integraal van de snelheid over de tijd geeft de verplaatsing.
Bij een snelheid die van teken wisselt, is de afgelegde weg iets anders dan de verplaatsing.
Splits het interval op bij de nulpunten van v als het teken wisselt.
Let op de eenheden: snelheid in m/s en tijd in s geven een weg in meter.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Een auto rijdt met snelheid v(t) = 3t² m/s, waarbij t in seconden is. Bereken de afgelegde weg van t = 0 tot t = 2.
- 1
Op het interval van 0 tot 2 is 3t² altijd positief of nul, dus de snelheid wisselt niet van teken.
Veelgemaakte fouten
Verwar de verplaatsing met de afgelegde weg als v van teken wisselt, want dan telt een terugweg af in plaats van op.
Vergeet de grenzen in te vullen in de primitieve, of vul alleen de bovengrens in zonder de ondergrens af te trekken.
Reken met de tijd in minuten terwijl de snelheid in m/s staat, zodat de eenheid van het antwoord niet klopt.
Snel checken
Een deeltje heeft snelheid v(t) = 4t − t² m/s voor 0 ≤ t ≤ 4, met t in seconden. Hoeveel meter legt het deeltje af van t = 0 tot t = 2?
Een voorwerp heeft snelheid v(t) = 6 − 2t m/s, met t in seconden. Wat is de netto verplaatsing van t = 0 tot t = 5?