Vraag 20Padovantafels

Op de foto zie je een zogenoemde foto Fibonaccitafel van de firma NautaBene Design. Het patroon van het tafelblad is geïnspireerd op de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…. Het tafelblad bestaat uit vier vierkanten en een rechthoekig gat. De zijden van de vierkanten verhouden zich als 5 : 8 : 13 : 21. De tafel is 120 cm lang en 74 cm breed.

Behalve de rij van Fibonacci bestaan er ook andere rijen, bijvoorbeeld de rij van Padovan. In figuur 1 zie je het ontwerp voor een Padovantafel. Het tafelblad bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van 2, 2, 3, 4, 5 en 7 dm. In het tafelblad zit een gat. Hier zijn drie gelijkzijdige driehoekjes met een zijde van 1 dm weggelaten. figuur 1 Het patroon van het tafelblad is geïnspireerd op de rij van Padovan, een rij getallen die op de volgende manier beschreven kan worden: p = 1 , p = 1 , p = 1 1 2 3 p = p + p n n − 2 n − 3 De tweede regel zegt dat p = p + p , p = p + p , enzovoort. 4 2 1 5 3 2 Zo ontstaat dus de rij getallen: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7,… Deze rij kan nog verder voortgezet worden. In figuur 2 zie je nogmaals het ontwerp voor de Padovantafel, waarvan p de lengte van de zijde van de n -de driehoek is. Bij een zijde van elke n driehoek is de bijbehorende term p uit de rij van Padovan gezet. n figuur 2 In figuur 2 is te zien dat vanaf p het volgende geldt: 6 p = p + p (1) 6 5 1 p = p + p (2) 7 6 2 p = p + p (3) 8 7 3 enzovoort. Blijkbaar kunnen de Padovan-getallen vanaf p ook op deze manier 6 berekend worden.

Op grond van de formule p = p + p aan het begin van deze n n − 2 n − 3 opgave geldt dus: p = p + p (4) 4 2 1 p = p + p (5) 5 3 2 p = p + p (6) 6 4 3

Toon aan, door uit te gaan van de formules 4, 5 en 6, dat geldt: p = p + p . Doe dit zonder een getallenvoorbeeld te gebruiken. 6 5 1