Vraag 9Kaartenhuis
Schreef je op papier? Maak een foto van je uitwerking op papier. Je foto blijft privé en de nakijker leest hem. Zet je naam er niet op.
Met een gratis account wordt je antwoord nagekeken per scorepunt, volgens het officiële correctievoorschrift. Wat je hier typt, blijft bewaard.
De vraag als tekst
Door speelkaarten op elkaar te stapelen, foto 1 kan je een kaartenhuis bouwen. Op foto 1 zie je een kaartenhuis van drie lagen. Het kaartenhuis op foto 1 is gebouwd volgens de zogeheten driehoeksconstructie . Bij de driehoeksconstructie ga je als volgt te werk: − Zet steeds naast elkaar twee kaarten schuin tegen elkaar (de zwarte lijnstukken in de figuur hieronder). − Leg een kaart op de toppen (de gestippelde lijnstukken in de figuur). − Ga door tot het kaartenhuis af is. In de figuur is dit schematisch weergegeven voor een kaartenhuis van vier lagen. figuur In deze opgave beschouwen we kaartenhuizen die volgens de driehoeksconstructie zijn gebouwd. Zowel het aantal staande kaarten als het aantal liggende kaarten in een laag vormt een rij behorend bij een lineair verband. Door voor beide aantallen een directe formule op te stellen, kan een directe formule voor het totaal aantal kaarten in een laag gevonden worden. Deze formule is K ( n ) = 3 n − 1 , met K ( n ) het totaal aantal kaarten in de n - de laag. De liggende kaarten horen bij de laag waarop ze liggen, dus de bovenste liggende kaart in de figuur hoort bij laag 2.
Stel voor zowel de staande kaarten als voor de liggende kaarten in de n -de laag een directe formule op en toon daarmee aan dat K ( n ) = 3 n − 1 .