Gravitatie: gravitatiekracht, gravitatie-energie en ontsnappingssnelheid
In deze les zie je hoe de gravitatiekracht en de gravitatie-energie de beweging van een voorwerp in een gravitatieveld bepalen. Met die kennis reken je de ontsnappingssnelheid en de valversnelling uit, en die vragen komen vaak op het examen terug.
Een satelliet of maan blijft in een baan door de gravitatiekracht. Die kracht is de zwaartekracht tussen twee massa's: F = G·m·M/r². Hoe verder weg, hoe kleiner de kracht. De gravitatiekracht levert de middelpuntzoekende kracht, dus m·v²/r = G·m·M/r².
Gravitatie-energie hoort bij de gravitatiewisselwerking. Voor twee massa's geldt E_g = −G·m·M/r. Het nulpunt van de energie ligt bij oneindig ver weg. Een voorwerp dat naar het hemellichaam valt, wint kinetische energie en verliest evenveel gravitatie-energie. De waarde is dus negatief, en dat betekent dat het voorwerp gebonden is.
De ontsnappingssnelheid is de snelheid waarbij de som van kinetische en gravitatie-energie precies nul is. Dan bereikt het voorwerp oneindig ver weg met snelheid nul. Uit ½mv² = G·m·M/r volgt v = √(2GM/r). De massa m van het voorwerp valt weg. Alleen de massa en de straal van het hemellichaam tellen mee.
De valversnelling aan het oppervlak volgt uit de gravitatiekracht. Er geldt m·g = G·m·M/R², dus g = G·M/R². Een grotere massa geeft een grotere valversnelling. Een grotere straal geeft een kleinere valversnelling, omdat het oppervlak dan verder van het middelpunt ligt.
Bij een geostationaire baan is de omlooptijd gelijk aan de draaitijd van de aarde. Zo'n satelliet staat boven de evenaar en blijft boven hetzelfde punt.
Onthoud
De gravitatiekracht tussen twee massa's is F = G·m·M/r².
Gravitatie-energie is negatief en nul bij oneindig grote afstand.
Bij ontsnappen is de totale energie nul, en dan geldt v = √(2GM/r).
Met g = G·M/R² hangt de valversnelling af van de massa en de straal van de planeet.
Een geostationaire baan ligt boven de evenaar en heeft dezelfde omlooptijd als de draaitijd van de aarde.
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
Bij deze vraag zoek je de minimale snelheid waarmee een deeltje van het plasma aan het gravitatieveld van de zon ontsnapt. Het antwoord geef je in vier significante cijfers.
- 1
Het deeltje ontsnapt als de totale energie aan het oppervlak nul is, dus E_k + E_g = 0.
Veelgemaakte fouten
Veel leerlingen rekenen met de massa van het voorwerp dat ontsnapt, maar die valt weg, dus reken met de massa van het hemellichaam.
Leerlingen gebruiken de hoogte boven het oppervlak als r, terwijl r de afstand tot het middelpunt is.
Leerlingen maken de gravitatie-energie positief, maar bij een gebonden voorwerp is die negatief.
Snel checken
Waarvan hangt de ontsnappingssnelheid van een hemellichaam af?
Een planeet heeft twee keer zoveel massa en twee keer zoveel straal als de aarde. Hoe verhoudt de valversnelling aan het oppervlak zich tot die op aarde?