Vraag 11Lengtegroei bij jongens

In deze opgave bekijken we de (gemiddelde) lengte van Nederlandse jongens tot 21 jaar. Met ‘lengte’ wordt in de hele opgave de gemiddelde lengte bedoeld. We gebruiken in deze opgave een veelgebruikt model uit de kindergeneeskunde, het zogenaamde KKP-model. In dit model bestaat de lengte uit drie componenten L , L en L . Bij elkaar opgeteld geven deze 1 2 3 drie componenten de lengte van Nederlandse jongens. In figuur 1 staan de drie componenten L , L en L en is ook de som van de drie getekend. 1 2 3 figuur 1 200 lengte (in cm) L + L + L 180 1 2 3 160 140 120 100 L 2 80 L 1 60 40 20 L 3 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 leeftijd (in jaren) In het eerste half jaar is de bijdrage van de componenten L en L voor de 2 3 lengte verwaarloosbaar en is L alleen een goede benadering voor de 1 lengte. De formule voor L is: 1 L = 76,4 − 19,4 · 0,9704 w met L in cm en w de leeftijd in weken 1 1 De formule die hoort bij L heeft een grenswaarde. 1

Na het eerste halfjaar is de bijdrage van de component L niet meer te 2 verwaarlozen. De formule voor L is: 2 L =− 0,235 t 2 + 9,5 t − 4,7 met L in cm en t de leeftijd in jaren 2 2 Deze formule speelt verderop in deze opgave nog een rol. De component L is de extra lengte als gevolg van de groeispurt die 3 jongens in de pubertijd ondergaan. De formule voor L is: 3 16,1 L = met L in cm en t de leeftijd in jaren 3 16,4 − 1,2 t 3 1 + e Voor de afgeleide van L geldt: 3 16,4 − 1,2 t 19,32 · e L ′= 3 2 1 + e 16,4 − 1,2 t

Met behulp van de afgeleide van L kun je op elk moment in de pubertijd 3 berekenen hoe groot de extra groeisnelheid als gevolg van die groeispurt is.

De som van L , L en L levert de lengte L van een jongen. L kan met de 1 2 3 volgende formule beschreven worden: t 2 16,1 L =− 19,4 · 0,2096 0,235 − t + 9,5 t + 71,7 + 16,4 − 1,2 t 1 + e Hierbij is L in cm en t de leeftijd in jaren .

In figuur 2 zijn voor de leeftijden van 1 jaar tot en met 21 jaar zowel de modellengte volgens de KKP-formule (de vloeiende kromme) als de echte groeigegevens, gebaseerd op de gemiddelde (werkelijke) lengte van jongens, (de stippen) weergegeven. Zoals je kunt zien, past het KKP-model behoorlijk goed bij de werkelijkheid; de stippen passen nagenoeg perfect op de kromme. Omdat het verschil tussen de echte groeigegevens en die van het model zo klein is, is die afwijking tussen de echte groeigegevens en de lengte volgens het model nog eens weergegeven als de gestippelde, onregelmatige grafiek. Hierbij moet de rechter verticale as gebruikt worden. Zo is uit figuur 2 bijvoorbeeld af te lezen dat de werkelijke lengte op 8-jarige leeftijd 0,15 cm afwijkt van de lengte volgens het model. figuur 2 245,00 0,5 echte lengte; afwijking 235,00 KKP-formule (in cm) 225,00 0,4 (beide in cm) 215,00 205,00 0,3 195,00 185,00 0,2 175,00 165,00 0,1 155,00 145,00 0 135,00 125,00 −0,1 115,00 105,00 −0,2 95,00 85,00 −0,3 75,00 65,00 −0,4 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 lengte (in jaren) Legenda: werkelijkheid model afwijking In figuur 2 is af te lezen bij welke leeftijd de absolute afwijking van de berekende gemiddelde lengte met de KKP-formule ten opzichte van de echte groeigegevens het grootst is. De figuur staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage.

Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage bij welke leeftijd die afwijking relatief het grootst is. Licht je antwoord toe.