Vraag 10Groeimodellen
Schreef je op papier? Maak een foto van je uitwerking op papier. Je foto blijft privé en de nakijker leest hem. Zet je naam er niet op.
Hoe pak je dit aan?
- Bekijk eerst het logistische model en welke gegevens je nodig hebt: de reproductiefactor r en de startpopulatiefractie c.
- Neem de waarde van c als startpunt en reken daarna stap voor stap met de formule van model 2 de volgende waarden uit.
- Kijk in de figuur of in je uitkomsten welke twee waarden om en om terugkomen als n steeds groter wordt.
- Rond de twee gevonden waarden af op twee decimalen en schrijf ze duidelijk op.
Hier verliezen leerlingen punten
- Reken niet alleen één of twee stappen na, maar laat zien hoe je aan de heen en weer springende waarden komt.
- Vergeet niet om de uitkomsten af te ronden op twee decimalen, zoals de opgave vraagt.
- Let op dat je twee waarden geeft en niet één, want het gaat om een patroon dat zich herhaalt.
Met een gratis account wordt je antwoord nagekeken per scorepunt, volgens het officiële correctievoorschrift. Wat je hier typt, blijft bewaard.
De vraag als tekst
In de 18e eeuw werd algemeen aangenomen dat de toename van een populatie dieren kan worden beschreven met behulp van een meetkundige rij. Een model uit die tijd is: P = r · P n n − 1 model 1 P = c 0 In dit model geldt: − P is de populatiefractie na n jaar. Dat is de grootte van de populatie n als deel van de maximale populatie. P is dus een getal tussen 0 en 1. n − c is de startpopulatiefractie . Ook dit getal wordt uitgedrukt als een deel van de maximale populatie (en dus geldt 0 < c < 1 ). − r is de reproductiefactor : een getal dat aangeeft hoe snel een populatie zich per jaar uitbreidt. Neem aan dat in een bepaald bosrijk gebied een populatie van 165 vossen leeft. De reproductiefactor van de vossen in dit gebied is 1,28 en in het gebied is plaats voor maximaal 500 vossen.
In model 1 wordt ervan uitgegaan dat een populatie altijd even snel groeit. Dit komt echter niet overeen met de werkelijkheid: als de populatie groeit wordt de ruimte per dier namelijk steeds kleiner, waardoor het moeilijker wordt om voedsel te vinden. Hierdoor zal een populatie steeds minder snel gaan groeien naarmate deze toeneemt. Een verbeterde versie van model 1 is het logistische model : P = r · P · (1 − P ) n n − 1 n − 1 model 2 P = c 0 De variabelen in dit model hebben dezelfde betekenis als in model 1. De Oostvaardersplassen is een natuurgebied in de buurt van Lelystad. In 2020 leefden er in dit gebied een groot aantal edelherten. Door dit grote aantal konden andere diersoorten, voornamelijk vogels, zich niet meer goed ontwikkelen. Mede daarom wordt sinds 2021 de populatie door het afschieten van de dieren stabiel gehouden op 500 edelherten. Neem aan dat er maximaal 2000 edelherten in de Oostvaardersplassen kunnen leven. Er geldt vanaf 2021 dat r = 1,58 en c = 0,25 .
In de rest van deze opgave gaan we bekijken hoe model 2 zich gedraagt bij verschillende waarden van r . Als je voor r een getal tussen de 0 en 1 invult, dan nadert P voor iedere n startwaarde c (met 0 < c < 1 ) naar 0. Je kunt dat beredeneren met de formule voor P . n
Voor waarden van r groter dan 1 wordt het model erg onvoorspelbaar. figuur In de figuur is de grafiek getekend voor r = 3,15 en c = 0,25 . Er is te zien dat de waarde van P op den duur heen en weer gaat springen tussen n twee vaste waarden.
Onderzoek tussen welke twee waarden P heen en weer gaat springen n voor r = 3,15 en c = 0,25 . Geef deze waarden in twee decimalen.