Vraag 9Groeimodellen
Schreef je op papier? Maak een foto van je uitwerking op papier. Je foto blijft privé en de nakijker leest hem. Zet je naam er niet op.
Hoe pak je dit aan?
- Kijk eerst naar de formule van model 2 en welke getallen er in P_n met elkaar worden vermenigvuldigd.
- Ga na tussen welke grenzen de populatiefractie P_(n-1) ligt, en wat dat betekent voor het getal 1 en P_(n-1) samen.
- Denk daarna na over wat er gebeurt met de uitkomst als je steeds opnieuw met zulke getallen vermenigvuldigt.
Hier verliezen leerlingen punten
- Reken niet met één getal voor r, zoals 0,5, want de redenering moet gelden voor elke r tussen 0 en 1.
- Laat niet weg waarom beide factoren die je vermenigvuldigt tussen 0 en 1 liggen, want juist dat onderbouwt je redenering.
- Eindig niet met alleen de conclusie dat P_n naar 0 gaat, maar leg uit waarom de getallen steeds kleiner worden.
Met een gratis account wordt je antwoord nagekeken per scorepunt, volgens het officiële correctievoorschrift. Wat je hier typt, blijft bewaard.
De vraag als tekst
In de 18e eeuw werd algemeen aangenomen dat de toename van een populatie dieren kan worden beschreven met behulp van een meetkundige rij. Een model uit die tijd is: P = r · P n n − 1 model 1 P = c 0 In dit model geldt: − P is de populatiefractie na n jaar. Dat is de grootte van de populatie n als deel van de maximale populatie. P is dus een getal tussen 0 en 1. n − c is de startpopulatiefractie . Ook dit getal wordt uitgedrukt als een deel van de maximale populatie (en dus geldt 0 < c < 1 ). − r is de reproductiefactor : een getal dat aangeeft hoe snel een populatie zich per jaar uitbreidt. Neem aan dat in een bepaald bosrijk gebied een populatie van 165 vossen leeft. De reproductiefactor van de vossen in dit gebied is 1,28 en in het gebied is plaats voor maximaal 500 vossen.
In model 1 wordt ervan uitgegaan dat een populatie altijd even snel groeit. Dit komt echter niet overeen met de werkelijkheid: als de populatie groeit wordt de ruimte per dier namelijk steeds kleiner, waardoor het moeilijker wordt om voedsel te vinden. Hierdoor zal een populatie steeds minder snel gaan groeien naarmate deze toeneemt. Een verbeterde versie van model 1 is het logistische model : P = r · P · (1 − P ) n n − 1 n − 1 model 2 P = c 0 De variabelen in dit model hebben dezelfde betekenis als in model 1. De Oostvaardersplassen is een natuurgebied in de buurt van Lelystad. In 2020 leefden er in dit gebied een groot aantal edelherten. Door dit grote aantal konden andere diersoorten, voornamelijk vogels, zich niet meer goed ontwikkelen. Mede daarom wordt sinds 2021 de populatie door het afschieten van de dieren stabiel gehouden op 500 edelherten. Neem aan dat er maximaal 2000 edelherten in de Oostvaardersplassen kunnen leven. Er geldt vanaf 2021 dat r = 1,58 en c = 0,25 .
In de rest van deze opgave gaan we bekijken hoe model 2 zich gedraagt bij verschillende waarden van r . Als je voor r een getal tussen de 0 en 1 invult, dan nadert P voor iedere n startwaarde c (met 0 < c < 1 ) naar 0. Je kunt dat beredeneren met de formule voor P . n
Geef een redenering waaruit blijkt dat wanneer r tussen de 0 en 1 is, P n altijd naar 0 nadert.