Formules opstellen bij een probleemsituatie
In een opgave beschrijf je een verband tussen twee grootheden met een formule. Bij het centraal examen moet je die formule vaak zelf opstellen uit twee gegevens uit de tekst of uit een grafiek.
Een formule beschrijft hoe een grootheid verandert als de tijd of een andere variabele verandert. Bij lineair groeien komt elke stap er evenveel bij. Dan hoort bij f(x) = ax + b. De a is de verandering per eenheid en de b is de beginwaarde.
Bij exponentieel groeien vermenigvuldig je elke stap met dezelfde groeifactor g. Dan hoort bij f(t) = b · g^t. De b is de beginwaarde bij t = 0. Een groei van 8% per jaar geeft een groeifactor van 1,08. Een afname van 8% geeft een groeifactor van 0,92.
Heb je twee punten (t₁, y₁) en (t₂, y₂) met exponentiële groei, dan doe je dit. Eerst bereken je de groeifactor over de hele periode, dus y₂ / y₁. Daarna maak je daar de wortel uit met de exponent 1/(t₂ − t₁). Zo krijg je de groeifactor per eenheid. Met die groeifactor reken je de beginwaarde terug naar t = 0.
Let op wat de variabele betekent. Als de opgave t = 21 gebruikt, moet je formule op die t kloppen. Controleer je formule altijd met de gegevens uit de opgave.
Onthoud
Lineair: f(x) = ax + b, met a de verandering per eenheid.
Exponentieel: f(t) = b · g^t, met g de groeifactor per eenheid.
Groeifactor bij een procentuele toename van p%: g = 1 + p/100.
Uit twee punten vind je g met de wortel uit de totale verhouding.
Controleer de formule met de gegevens uit de opgave.
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
Bij deze vraag stel je een formule op voor het gemiddelde jaarsalaris S in duizenden dollars van een honkballer van t jaar oud. De gegevens staan in de tekst bij 21 en 28 jaar.
- 1
Met de tekst weet je dat een speler van 21 jaar 400 duizend dollar verdient en een speler van 28 jaar 2600 duizend dollar.
Veelgemaakte fouten
Gebruik bij exponentiële groei geen vermenigvuldigen met het procent, maar met de groeifactor 1 + p/100, dus 1,08 in plaats van 0,08.
Reken het verschil in tijd niet uit als je de groeifactor per eenheid bepaalt, maar deel door het aantal jaren tussen de twee punten.
Snel checken
Het aantal bacteriën verdubbelt niet, maar groeit elk uur met 25%. Het beginaantal is 500. Welke formule hoort daarbij, met N het aantal na t uur?
Een auto kost 24000 euro. De waarde daalt elk jaar met een vast bedrag van 1500 euro. Welke formule geeft de waarde V na t jaar?