Vergelijkingen die je kunt herleiden tot een bekend type
Sommige vergelijkingen herken je niet meteen, maar je kunt ze herschrijven tot een vorm die je al kent. Op het examen levert dit veel rekenwerk op als je de truc kent.
Sommige vergelijkingen lijken moeilijk, maar je kunt ze herschrijven tot een vorm die je al kent. Vaak is dat een tweedegraadsvergelijking.
De truc is een substitutie. Je vervangt een macht van x door een nieuwe letter, bijvoorbeeld u. Bij x⁴ past u = x², want x⁴ = (x²)². Zo wordt x⁴ − 13x² + 36 = 0 de vorm u² − 13u + 36 = 0.
Daarna los je de nieuwe vergelijking op, met de abc-formule of door te ontbinden in factoren. Zo vind je de waarden van u.
Let op de laatste stap. Je moet terug naar x. Uit x² = 4 volgt x = 2 of x = −2. Een negatieve waarde van x² heeft geen reële oplossing, dus die schrap je. Controleer ten slotte of elke oplossing in de oorspronkelijke vergelijking klopt.
Onthoud
Een substitutie maakt van een lastige vergelijking een bekende vorm.
Met u = x² wordt x⁴ tot u².
Los de nieuwe vergelijking op en reken daarna terug naar x.
Elke positieve waarde van x² levert twee oplossingen op, een positieve en een negatieve.
Een negatieve waarde van x² levert geen reële oplossing op.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Los op: x⁴ − 13x² + 36 = 0.
- 1
Stel u = x². Dan geldt x⁴ = u², dus ontstaat u² − 13u + 36 = 0.
Veelgemaakte fouten
Veel leerlingen vergeten terug te rekenen naar x. Zet de gevonden waarden van u altijd om naar x.
Ze nemen alleen de positieve wortel. Bij x² = 4 horen zowel x = 2 als x = −2.
Ze kiezen een substitutie die niet past. Kijk of de ene macht een veelvoud van de andere is, zoals x⁴ en x².
Snel checken
Welke substitutie maakt van de vergelijking 2x⁴ − 9x² + 4 = 0 een tweedegraadsvergelijking?
Welke waarden van x zijn oplossingen van x⁴ − 5x² + 4 = 0?