Sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek
Met sinus, cosinus en tangens reken je hoeken en zijden uit in een rechthoekige driehoek. Dit gebruik je in het examen bij bijna elke meetkundige context, ook bij de formule over de cirkels in deze les.
In een rechthoekige driehoek heb je drie zijden: de schuine zijde, de overstaande zijde en de aanliggende zijde. De schuine zijde ligt altijd tegenover de rechte hoek. De overstaande en aanliggende zijde hangen af van de hoek die je bekijkt.
De drie verhoudingen zijn:
sin α = overstaande zijde / schuine zijde
cos α = aanliggende zijde / schuine zijde
tan α = overstaande zijde / aanliggende zijde
Met een bekende hoek en één zijde reken je de andere zijde uit. Met twee bekende zijden vind je de hoek met de inverse functie van je rekenmachine. Schrijf de verhouding dan eerst op en vul daarna pas de getallen in.
Teken de driehoek altijd, ook als de opgave dat niet vraagt. Zet de hoek erbij en noteer welke zijden je kent. Dan zie je meteen welke verhouding past.
Onthoud
Schuine zijde is de zijde tegenover de rechte hoek
Sinus en cosinus gebruiken de schuine zijde, tangens niet
Bij twee bekende zijden vind je de hoek met de inverse functie
Bij een bekende hoek en één zijde reken je een andere zijde uit
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Je moet bewijzen dat sin α = (2 − r)/(r + 2) geldt in driehoek M2M3N, waarin hoek N recht is.
- 1
Hoek α zit in M2, dus de overstaande zijde van α is M3N en de schuine zijde is M2M3.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen kiezen de verkeerde overstaande zijde. Bekijk eerst vanuit de hoek welke zijde er recht tegenover ligt.
Leerlingen gebruiken de straal als lengte van een zijde. Reken met de afstand tussen de middelpunten als je de schuine zijde zoekt.
Snel checken
In een rechthoekige driehoek is de overstaande zijde van hoek α gelijk aan 3. De schuine zijde is gelijk aan 5. Hoeveel is sin α?
In een rechthoekige driehoek is de aanliggende zijde van hoek β gelijk aan 8. De overstaande zijde is gelijk aan 6. Hoeveel is tan β?