De hoek tussen twee lijnen
Twee lijnen maken een hoek met elkaar. Met vectoren en het inproduct reken je die hoek exact uit, ook als er geen figuur bij staat.
Twee lijnen in een vlak snijden elkaar of lopen evenwijdig. Als ze snijden, ontstaan er twee hoeken. De kleinste hoek is de hoek tussen de lijnen.
Een lijn heeft een richtingsvector. Dat is een vector die langs de lijn wijst. Bij y = ax + b is (1, a) een richtingsvector. Zo vind je van elke lijn een richtingsvector.
De hoek reken je uit met het inproduct. Voor de vectoren u en v geldt cos φ = |u·v| / (|u|·|v|). De absoluutstrepen zorgen dat je de scherpe hoek krijgt.
Werk stap voor stap. Bereken eerst het inproduct. Bereken daarna de lengtes van beide vectoren. Deel het inproduct door het product van de lengtes en neem de boogcosinus.
Let op: als het inproduct nul is, staan de lijnen loodrecht op elkaar.
Onthoud
Een lijn heeft een richtingsvector die langs de lijn wijst.
Bij y = ax + b is (1, a) een richtingsvector van de lijn.
Met cos φ = |u·v| / (|u|·|v|) vind je de scherpe hoek tussen de lijnen.
Een inproduct van nul betekent dat de lijnen loodrecht op elkaar staan.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Bereken de hoek tussen de lijnen y = 2x + 1 en y = −x + 3.
- 1
Bij lijn l met y = 2x + 1 hoort de richtingsvector u = (1, 2).
Veelgemaakte fouten
Je gebruikt de helling als richtingsvector zonder de vorm (1, a) te maken, terwijl de richtingsvector de x-coëfficiënt 1 nodig heeft.
Je vergeet de absoluutstrepen, waardoor je een stompe hoek krijgt terwijl de hoek tussen twee lijnen altijd scherp is of recht.
Je rekent met graden terwijl de GR op radialen staat, dus zet de GR eerst op de juiste hoekeenheid.
Snel checken
Lijn k heeft de vergelijking y = x. Lijn l heeft de vergelijking y = −3x. Welke hoek maken k en l met elkaar?
Lijn k heeft richtingsvector (2, 1) en lijn l heeft richtingsvector (1, 2). Welke hoek maken k en l met elkaar?