Een lokale afgeleide benaderen met differentiequotiënten
Een afgeleide laat zien hoe snel een functie op één punt verandert. Met differentiequotiënten over steeds kleinere intervallen benader je die verandering.
Een afgeleide zegt hoe snel een functie op één plek verandert. Je kunt die verandering niet direct meten, want daarvoor heb je een interval nodig.
Het differentiequotiënt is de gemiddelde verandering over zo'n interval. Voor een punt a en een kleine stap h geldt (f(a+h) − f(a)) / h. Dat is de helling van de lijn door twee punten van de grafiek.
Hoe kleiner h, hoe dichter die twee punten bij elkaar liggen. De lijn lijkt dan steeds meer op de raaklijn in a. Daarom nadert het differentiequotiënt de afgeleide f'(a).
Met getallen zie je dit goed. Worden de uitkomsten bij steeds kleinere h steeds minder veranderlijk, dan benader je de afgeleide. Zo heb je geen formule van de afgeleide nodig.
Bij een grote h is de benadering slecht, want de lijn door de punten ligt dan ver van de raaklijn af.
Onthoud
Het differentiequotiënt is de gemiddelde verandering over een interval van lengte h.
Bij kleinere h ligt de lijn door de twee punten dichter bij de raaklijn.
Als de uitkomsten bij kleinere h nauwelijks meer veranderen, benader je de afgeleide.
Stel h niet gelijk aan nul, want dan krijg je delen door nul.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Benader f'(3) voor f(x) = x² met een differentiequotiënt met h = 0,001.
- 1
Het differentiequotiënt is (f(3 + h) − f(3)) / h.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen nemen h = 0 in de formule, maar dan deel je door nul. Kies een kleine h en kijk naar wat de uitkomsten doen.
Leerlingen lezen een grote h als goede benadering. Neem h steeds kleiner en controleer of de uitkomsten stabiel worden.
Leerlingen vergeten f(a) af te trekken van f(a+h). Reken eerst het verschil van de functiewaarden uit en deel daarna door h.
Snel checken
Gegeven is f(x) = x³. Welke waarde benadert f'(2) het best met een differentiequotiënt?
Gegeven is f(x) = x² in het punt x = 3. Wat gebeurt er met het differentiequotiënt als h steeds kleiner wordt?