Afgeleiden van machtsfuncties met rationale exponenten
Bij dit onderwerp bepaal je de afgeleide van functies met machten zoals x^(3/2) of x^(-1/2). Dit komt steeds terug in het examen, ook als onderdeel van een grotere opgave.
Voor elke machtsfunctie f(x) = x^r geldt f'(x) = r · x^(r−1). Dit werkt ook als r een breuk is. Neem dus de exponent als factor voor de x, en verlaag daarna de exponent met 1.
Wortels en breuken zet je eerst om in machten. Zo wordt √x gelijk aan x^(1/2), en 1/x² wordt x^(−2). Daarna gebruik je de regel gewoon.
Bij een som van termen pak je elke term apart. Een constante factor blijft gewoon staan. Met de somregel en het verschil van termen werk je dus per term. Let op het minteken bij een negatieve coëfficiënt.
Rekenen met breuken vraagt wat geduld. Bij x^(3/2) is de nieuwe exponent 3/2 − 1 = 1/2. Dit is een kleine stap, maar er gaat vaak iets mis.
Onthoud
Bij f(x) = x^r is f'(x) = r · x^(r−1), ook voor breuken als r.
Zet wortels en breuken eerst om in machten met een exponent.
Bereken per term: vermenigvuldig met de exponent en verlaag de exponent met 1.
Een constante factor blijft staan en de termen tel je gewoon op of trek je af.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Gegeven is f(x) = 2x^(3/2) − 4x^(−1/2). Bepaal f'(x) voor x > 0.
- 1
De eerste term is 2x^(3/2). De coëfficiënt is 2 en de exponent is 3/2.
Veelgemaakte fouten
Verlaag de exponent altijd met precies 1, ook bij breuken: x^(3/2) wordt x^(1/2), niet x^(3/2 − 1/2).
Vermenigvuldig de coëfficiënt mee met de oude exponent, en let op het minteken bij een negatieve coëfficiënt.
Zet een wortel eerst om in een macht voordat je differentieert: √x is x^(1/2), niet een losse wortel met een eigen regel.
Snel checken
Wat is de afgeleide van f(x) = x^(2/3)?
Wat is de afgeleide van h(x) = 4x^(−1/2)?