Optimaliseren met de afgeleide
Bij veel vraagstukken zoek je de grootste of de kleinste waarde, zoals de grootste oppervlakte of de kleinste kosten. Met de afgeleide vind je die optimale situatie.
Bij een optimaliseringsvraag zoek je de grootste of kleinste waarde van een grootheid. Eerst stel je een formule op voor die grootheid. Daarna schrijf je de formule met één variabele.
De afgeleide helpt bij het zoeken. Een top van de grafiek ligt waar de afgeleide nul is. Daarom los je de vergelijking f'(x) = 0 op. Met het tekenverloop van de afgeleide zie je of de top een maximum of een minimum is.
Let op het domein. De variabele mag vaak alleen waarden hebben tussen twee grenzen, bijvoorbeeld omdat een lengte niet negatief kan zijn. Ook de randpunten van het domein kunnen het optimum zijn. Reken die waarden daarom ook na.
Kijk tot slot naar wat de vraag precies vraagt. Soms vraagt de vraag naar de waarde van de variabele. Soms vraagt de vraag naar de waarde van de grootheid zelf. Beantwoord precies dat.
- Stel de formule op met één variabele.
- Bepaal het domein.
- Los de afgeleide op gelijk aan nul op.
- Controleer het tekenverloop of de randpunten.
Onthoud
Stel eerst een formule op voor de grootheid die optimaal moet worden.
Schrijf die formule met één variabele voordat je differentieert.
Een optimum ligt vaak waar de afgeleide nul is.
Controleer het tekenverloop of de randpunten van het domein.
Beantwoord de vraag naar de variabele of naar de grootheid, zoals gevraagd.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Uit een vierkant stuk karton van 30 bij 30 cm knip je in elke hoek een vierkantje van x bij x cm weg. Van het overgebleven karton maak je een open doos. Voor welke x is de inhoud van de doos maximaal?
- 1
Met V = x·(30 − 2x)·(30 − 2x) geldt V = x·(30 − 2x)².
Veelgemaakte fouten
Leerlingen differentiëren de formule voordat ze de variabele hebben teruggebracht tot één variabele. Schrijf de grootheid eerst met één variabele en differentieer daarna.
Leerlingen vergeten het domein te controleren. Reken de randpunten en het tekenverloop na, zodat je zeker weet of het gevonden punt echt het optimum is.
Leerlingen geven de waarde van de variabele als antwoord terwijl de vraag naar de grootheid vraagt. Lees de vraag goed en reken de gevraagde waarde uit.
Snel checken
Welk teken heeft V' bij x = 1 cm in het voorbeeld van de doos?
Een rechthoek heeft een omtrek van 60 cm. Welke zijden geven de grootste oppervlakte?