Vraag 17Parabool en cirkel met variabele straal
Schreef je op papier? Maak een foto van je uitwerking op papier. Je foto blijft privé en de nakijker leest hem. Zet je naam er niet op.
Met een gratis account wordt je antwoord nagekeken per scorepunt, volgens het officiële correctievoorschrift. Wat je hier typt, blijft bewaard.
De vraag als tekst
Gegeven is de parabool met vergelijking y = x 2 en een punt M (0, r ) op de positieve y -as. We bekijken de cirkel met middelpunt M en straal r . Het punt O (0, 0) ligt op deze cirkel en op de gegeven parabool. Afhankelijk van de waarde van r hebben de cirkel en de parabool één gemeenschappelijk punt of drie gemeenschappelijke punten. In figuur 1 is de situatie met r = 9 getekend, waarbij er één 20 gemeenschappelijk punt is. In figuur 2 is de situatie met r = 1 getekend, met drie gemeenschappelijke punten. figuur 1 r = 9 figuur 2 r = 1 20 y y M M O x x O
In de rest van deze opgave gaan we uit van de situatie waarin de cirkel en de parabool alleen punt O gemeenschappelijk hebben. De lijn k gaat door M en is evenwijdig aan de x -as. V is het gebied rechts van de y -as dat wordt ingesloten door de cirkel, de parabool en lijn k . In figuur 3 is dit gebied lichtgrijs gemaakt. W is het gebied rechts van de y -as dat wordt ingesloten door de cirkel, de y -as en lijn k . In figuur 3 is dit gebied donkergrijs gemaakt. figuur 3 y M k W V O x Wanneer de cirkel wordt gewenteld om de y -as, ontstaat een bol met inhoud 4 π r 3 . 3 De gebieden V en W worden gewenteld om de y -as. Er is een waarde van r waarvoor de inhoud van de omwentelingslichamen van V en W aan elkaar gelijk zijn.
Bereken exact deze waarde van r .