Vraag 4Wachttijden
Schreef je op papier? Maak een foto van je uitwerking op papier. Je foto blijft privé en de nakijker leest hem. Zet je naam er niet op.
Hoe pak je dit aan?
- Bij een primitieve moet afleiden de oorspronkelijke functie teruggeven, dus dat is wat je gaat controleren.
- Leid de gegeven y af, term voor term, en let op hoe t en e tot de macht at samen voorkomen.
- Met het afgeleide resultaat zie je of het gelijk is aan de functie uit de opgave.
- Schrijf de vergelijking netjes op zodat elke stap te volgen is.
Hier verliezen leerlingen punten
- Vergeet bij de e tot de macht at niet de factor a die je van de exponent krijgt.
- Let erop dat je bij een product van twee functies beide delen afleidt, niet alleen het ene.
- Laat na te concluderen dat het resultaat gelijk is aan de gegeven functie, dat hoort bij het bewijs.
Met een gratis account wordt je antwoord nagekeken per scorepunt, volgens het officiële correctievoorschrift. Wat je hier typt, blijft bewaard.
De vraag als tekst
Een wachttijd is de tijd die je op een dienst moet wachten. Denk hierbij bijvoorbeeld aan de tijd die nodig is om een medewerker van een klantenservice aan de telefoon te krijgen of de tijd die nodig is voordat je wordt geholpen bij de bakker. In 1909 ontwikkelde de Deense wiskundige Agner Erlang een wiskundig model om te berekenen in hoeveel procent van de gevallen bepaalde wachttijden voorkomen. Dit percentage komt overeen met de oppervlakte onder een grafiek. In deze opgave gaan we uit van een dienst waarbij het volgende model van Erlang hoort: − 1 t f ( t ) = 50e 2 met t ≥ 0 Hierbij is t de tijd in minuten. Stel dat je wilt weten in hoeveel procent van de gevallen de wachttijd tussen 3 en 4 minuten ligt. Je bepaalt dan de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f , de t as en de lijnen met vergelijking t = 3 en t = 4 . Deze oppervlakte blijkt (afgerond) 8,8 te zijn. Dit wil zeggen dat in 8,8% van alle gevallen de wachttijd tussen 3 en 4 minuten ligt. Zie de figuur. figuur
Een wachttijd van meer dan twintig minuten komt in dit voorbeeld zelden voor. Daarom wordt de gemiddelde wachttijd berekend met: 20 1 · ∫ t · f t d t 100 0 Om de gemiddelde wachttijd te kunnen berekenen, maakt iemand gebruik ( 1 1 ) at at van het gegeven dat y = t − e een primitieve is van y = t e ( a a 2 ) (met a ≠ 0 ). ( 1 1 ) at at
Bewijs dat y = t − e inderdaad een juiste primitieve is van y = t e ( a a 2 ) voor elke waarde van a (met a ≠ 0 ).