Standaardfuncties: de exponentiële functie gebruiken
Bij een standaardfunctie ken je de vorm van de grafiek al. Dat helpt je om snel te zien hoe een probleem verloopt en hoe je het oplost.
Een standaardfunctie is een functie waarvan je het gedrag al kent. Bij de exponentiële functie f(x) = g^x hoort altijd dezelfde vorm van de grafiek. Die vorm gebruik je om vragen over groei en afname te beantwoorden.
Er zijn een paar vaste eigenschappen. De grafiek gaat altijd door het punt (0, 1), want g^0 = 1. De functie is altijd positief, dus de grafiek ligt boven de x-as. De lijn y = 0 is een horizontale asymptoot. Het grondtal g bepaalt of de grafiek stijgt of daalt.
Bij g > 1 stijgt de grafiek. Bij 0 < g < 1 daalt de grafiek. Bij g = 1 krijg je een horizontale lijn, en dan is er geen groei of afname.
Het getal a in f(x) = a · g^x verschuift de beginwaarde. De grafiek snijdt de y-as dan in (0, a), niet in (0, 1). Het grondtal blijft wel bepalen of de grafiek stijgt of daalt.
Onthoud
Een exponentiële functie f(x) = g^x gaat altijd door het punt (0, 1).
Voor g > 1 stijgt de grafiek en voor 0 < g < 1 daalt hij.
De functie is altijd positief en de lijn y = 0 is de horizontale asymptoot.
Met een factor a voor de macht ligt het snijpunt met de y-as in (0, a).
Met deze eigenschappen beantwoord je vragen over groei en afname zonder een tabel te maken.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Een hoeveelheid begint op 200 gram en neemt per uur af met factor 0,8. Wanneer is de hoeveelheid voor het eerst kleiner dan 50 gram? Het model is N(t) = 200 · 0,8^t, met t in uren.
- 1
Bij t = 0 is N(0) = 200 · 0,8^0 = 200. De grafiek snijdt de verticale as dus in (0, 200).
Veelgemaakte fouten
Leerlingen denken dat de grafiek van a · g^x altijd door (0, 1) gaat. Lees het getal a af, want het snijpunt met de y-as is (0, a).
Leerlingen kijken niet naar het grondtal om te bepalen of de grafiek stijgt of daalt. Bij g groter dan 1 stijgt de grafiek, en bij g tussen 0 en 1 daalt hij.
Leerlingen lezen 6,2 af en kiezen dan 6 uur. Kijk naar het eerste hele getal na de grens, want daar is de eis pas echt gehaald.
Snel checken
Gegeven is de functie f(x) = 3 · 1,5^x. Welke uitspraak over de grafiek van f is juist?
Voor welke waarde van g daalt de grafiek van y = g^x?