Asymptoten van standaardfuncties
Een asymptoot is een lijn waar de grafiek steeds dichter naartoe loopt. Op het examen bepaal je asymptoten vooral bij logaritmen en breuken.
Een asymptoot is een lijn die de grafiek steeds dichter nadert. Je kunt de grafiek daarbij ver weg laten lopen.
Verticale asymptoten
De logaritme y = log(x) heeft de verticale asymptoot x = 0. De grafiek bestaat alleen voor positieve x. Bij x naar 0 gaat de grafiek omlaag.
Bij y = log(u(x)) liggen de verticale asymptoten waar u(x) = 0. Daar wordt het argument nul. Zo bepaal je de asymptoten van een logaritme met een kwadratische functie in het argument.
Horizontale asymptoten
De exponentiële functie y = 2^x heeft de horizontale asymptoot y = 0. De functie y = 1/x heeft de asymptoten x = 0 en y = 0.
Verschuiven
Als je de grafiek verschuift, schuiven de asymptoten mee. Bij y = log(x − 3) + 2 ligt de verticale asymptoot bij x = 3. Het getal 2 verschuift de grafiek omhoog en verandert de asymptoot niet.
Onthoud
Een verticale asymptoot van y = log(u(x)) ligt waar u(x) = 0.
De grafiek van een logaritme eindigt bij de verticale asymptoot en gaat daar steeds verder omlaag.
Een getal buiten de logaritme verschuift de grafiek omhoog of omlaag, maar de verticale asymptoot blijft gelijk.
Bij twee asymptoten los je de vergelijking van het argument op, meestal met de abc-formule.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bij deze vraag zoek je de waarde van a waarvoor de twee verticale asymptoten op afstand 20 van elkaar liggen.
- 1
Verticale asymptoten liggen waar het argument nul is, dus waar x² − ax + 69 = 0.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen zoeken de asymptoot bij de functiewaarde. Zoek hem bij het argument, want daar wordt het gelijk aan nul.
Leerlingen nemen alleen de plusoplossing van de abc-formule. Reken beide oplossingen uit en kijk welke aan de voorwaarde voldoet.
Leerlingen kwadrateren zonder op het teken te letten. Kijk na het uitrekenen welke waarde van a bij de voorwaarde past.
Snel checken
Welke verticale asymptoten heeft de grafiek van y = log(x² − 6x + 5)?
Welke verticale asymptoot heeft de grafiek van f(x) = log(x + 3) − 2?