Stijgen en dalen met de afgeleide
Een functie stijgt of daalt op een interval, en dat kun je met de afgeleide vaststellen. In het examen moet je dit vaak met een berekening onderbouwen.
Als de afgeleide f'(x) positief is op een interval, dan stijgt de grafiek van f op dat interval. Als f'(x) negatief is, dan daalt de grafiek op dat interval.
De afgeleide geeft de helling van de grafiek aan. Een positieve helling betekent dat de grafiek omhoog loopt als je van links naar rechts kijkt. Een negatieve helling betekent dat de grafiek omlaag loopt.
Om te onderzoeken waar een functie stijgt of daalt, werk je meestal zo:
- bepaal f'(x)
- bepaal waar f'(x) gelijk is aan nul en waar hij niet bestaat
- bepaal het teken van f'(x) in elk interval
Bij een bewijs moet je het teken van f'(x) voor alle x in het interval onderbouwen. Eén getal invullen is niet genoeg. Als de teller een constante is en de noemer een kwadraat, dan kun je het teken vaak in één zin vastleggen.
Onthoud
Positieve afgeleide betekent stijgen, negatieve afgeleide betekent dalen op het interval.
De afgeleide is de helling van de grafiek op elk punt.
Het teken van f'(x) moet je voor alle x in het interval onderbouwen.
Een kwadraat in de noemer is nooit negatief, dus het teken hangt af van de teller.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bewijs dat de grafiek van f voor elke x > 5 daalt, met f(x) = 2x/(x − 5).
- 1
Met de quotiëntregel volgt dy/dx = (2(x − 5) − 1·2x)/(x − 5)².
Veelgemaakte fouten
Schrijf bij de quotiëntregel eerst de teller als u'v en uv' apart uit, zodat de min niet verdwijnt.
Onderbouw het teken van de afgeleide voor alle x in het interval, niet alleen voor één getal.
Kijk bij daling naar het teken van de afgeleide, niet alleen naar of de afgeleide gelijk is aan nul.
Snel checken
Wat is de afgeleide van f(x) = 2x/(x − 5)?
Voor welke x daalt de functie f(x) = x³ − 3x?