Buigpunten met de tweede afgeleide
De tweede afgeleide laat zien waar een grafiek van bolling wisselt. Buigpunten vraag je in het examen vaak op, dus het is handig om de werkwijze goed te kennen.
Een buigpunt is een punt waar de grafiek van kromming verandert. Links van het punt bolt de grafiek naar boven en rechts ervan naar beneden, of andersom.
De tweede afgeleide f'' zegt iets over die kromming. Als f''(x) positief is, bolt de grafiek naar boven, zoals een dal. Als f''(x) negatief is, bolt de grafiek naar beneden, zoals een berg.
Om buigpunten te vinden werk je in drie stappen.
- Bereken f''(x) en los op waar f''(x) = 0.
- Daarna kijk je of het teken van f'' op die plek echt verandert.
- Bereken tot slot de y-coördinaat met f(x).
Een nulpunt van f'' is dus nog geen buigpunt. Bij g(x) = x⁴ is g''(0) gelijk aan nul, maar g'' blijft positief. Daar ligt dus geen buigpunt.
Onthoud
Een buigpunt is een punt waar de grafiek van bolling wisselt.
Los f''(x) = 0 op om de kandidaten te vinden.
Het teken van f'' moet op die plek daadwerkelijk veranderen.
Met f(x) bereken je de y-coördinaat, zodat je het volledige punt krijgt.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Bereken het buigpunt van de grafiek van f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.
- 1
Met f'(x) = 3x² − 12x + 9 vind je f''(x) = 6x − 12.
Veelgemaakte fouten
Men zoekt het buigpunt met f'(x) = 0, maar dat geeft de top of het dal; los daarom f''(x) = 0 op.
Men geeft alleen de x-waarde van het buigpunt; neem ook de y-waarde mee door f(x) in te vullen.
Men neemt elk nulpunt van f'' als buigpunt; controleer eerst of het teken van f'' daar echt verandert.
Snel checken
Hoeveel buigpunten heeft de grafiek van f(x) = x⁴ − 4x³?
Heeft de grafiek van g(x) = x⁴ een buigpunt in x = 0?