Afgeleiden van standaardfuncties
Dit onderwerp is de basis van alle differentiëertechnieken. Zonder de afgeleiden van de standaardfuncties kun je in het examen geen functie differentiëren.
Bij het differentiëren gebruik je een vaste lijst met afgeleiden van standaardfuncties. Die lijst moet je uit je hoofd kennen, want elke andere regel bouwt hierop voort.
De belangrijkste standaardfuncties zijn:
- f(x) = xⁿ geeft f'(x) = n·xⁿ⁻¹, ook voor negatieve gehele machten
- f(x) = eˣ geeft f'(x) = eˣ
- f(x) = ln x geeft f'(x) = 1/x
- f(x) = sin x geeft f'(x) = cos x
- f(x) = cos x geeft f'(x) = −sin x
Kijk eerst welke standaardfunctie in de functie zit. Een wortel schrijf je als macht, want √x = x^(1/2). Een breuk zoals 1/x² schrijf je als x⁻². Dan past de machtsregel.
Een constante factor blijft staan. Bij 4·sin x wordt de afgeleide 4·cos x. Een losse constante verdwijnt, want de afgeleide van 7 is 0.
Bij een som differentieer je elke term apart. Daarna zet je de uitkomsten weer bij elkaar.
Onthoud
Schrijf een wortel of breuk eerst als macht, dan past de machtsregel.
De afgeleide van eˣ is eˣ zelf.
Een constante factor blijft staan bij het differentiëren.
Een losse constante heeft afgeleide 0.
Bij een som differentieer je elke term apart.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Bepaal f'(x) voor f(x) = x³ − 4·ln x + 2eˣ en reken daarna f'(1) uit.
- 1
Schrijf de drie termen los op: x³, −4·ln x en 2eˣ.
Veelgemaakte fouten
De afgeleide van sin x is cos x, niet −cos x; het minteken hoort bij de afgeleide van cos x.
De afgeleide van ln x is 1/x, niet ln x; onthoud de formule en schrijf haar op.
Bij een breuk zoals 1/x² differentieer je niet de noemer; schrijf eerst x⁻² en gebruik dan de machtsregel.
Snel checken
Gegeven is f(x) = 2eˣ − sin x. Welke afgeleide hoort bij deze functie?
Gegeven is f(x) = ln x + x⁻². Welke afgeleide hoort bij deze functie?