Vectorvoorstelling van een lijn
Een lijn in het vlak ligt vast door een punt en een richting. Met een vectorvoorstelling schrijf je die ligging op, en je gebruikt hem vaak om een bewijs te leveren over een lijn.
Een lijn l gaat door een punt A en heeft een richtingsvector r. Elk punt X op l bereik je door vanuit A een veelvoud van r te nemen. Dat geeft de vectorvoorstelling:
OX = OA + λ·r
De letter λ is een getal. Verandert λ, dan schuif je over de lijn. Voor λ = 0 kom je precies in A uit.
De richtingsvector r mag je zelf kiezen. Elke vector die evenwijdig is met l past, want alleen de richting telt. Uit een richtingsvector (a, b) lees je de richtingscoëfficiënt af als b/a. Zo kun je met vectoren ook laten zien welke richtingscoëfficiënt een lijn heeft.
Gaat een lijn door twee punten P en Q, dan is de vector PQ een richtingsvector. Je rekent die uit door de coördinaten van P af te trekken van die van Q. Zo ontstaat een vector die je direct als richting kunt gebruiken.
- Het beginpunt moet op de lijn liggen.
- De richtingsvector moet evenwijdig zijn met de lijn.
- De letter λ blijft een variabele, want die beschrijft alle punten van de lijn.
Onthoud
Een vectorvoorstelling bestaat uit een beginpunt A en een richtingsvector r.
Elk punt X op de lijn volgt uit OX = OA + λ·r, met λ een getal.
Elke vector die evenwijdig is met r kan dienen als richtingsvector.
Een richtingsvector van een lijn door P en Q is de vector PQ.
Uit een richtingsvector (a, b) volgt de richtingscoëfficiënt b/a.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bij deze vraag moet je bewijzen dat de lijn door P1 en P2 voor elke waarde van t (met t ≠ 0 en t ≠ 2) richtingscoëfficiënt −2 heeft.
- 1
Uit de bewegingsvergelijkingen volgt P1 = (t² + 2t, 4t) en P2 = (4t, 2t²).
Veelgemaakte fouten
Veel leerlingen nemen een punt als richtingsvector. Bereken eerst de vector PQ, want die geeft de richting aan.
Het minteken raakt vaak kwijt bij het aftrekken van coördinaten. Trek steeds de coördinaten van het beginpunt af van die van het eindpunt.
Het getal λ wordt soms weggelaten of op een vaste waarde gezet. Laat λ als variabele staan, want die beschrijft alle punten van de lijn.
Snel checken
Een lijn l gaat door het punt A(1, 2) en heeft richtingsvector (3, −1). Welke vectorvoorstelling hoort bij l?
Een lijn l gaat door de punten P(0, 4) en Q(2, 0). Welke vectorvoorstelling hoort bij l?