Eigenfrequentie en resonantie bij een massa-veersysteem
Een massa-veersysteem trilt altijd op een vaste eigenfrequentie. Bij die frequentie kan resonantie optreden, en dat speelt een rol bij het instrument van de cello en de wolfstoon.
Een massa aan een veer trilt op een vaste frequentie. Dat noemen we de eigenfrequentie. Voor de trillingstijd geldt T = 2π·√(m/C), met m de massa en C de veerconstante. Daaruit volgt f = 1/T = (1/2π)·√(C/m).
Bij een grotere massa is de trillingstijd langer en de frequentie lager. Bij een stijvere veer, dus een grotere C, is de trillingstijd korter en de frequentie hoger. Massa en veerconstante werken dus tegen elkaar in de formule in.
Resonantie treedt op als een trilling van buitenaf precies de eigenfrequentie heeft. Dan neemt de energie van de trilling sterk toe. Het voorblad van de cello is zo’n massa-veersysteem. Als de gespeelde frequentie gelijk is aan de eigenfrequentie van het voorblad, ontstaat de wolfstoon.
Bij het schaven wordt de massa kleiner, maar dat alleen maakt de frequentie hoger. Om de frequentie lager te maken moet de veerconstante C sterker dalen dan de massa. Dan wordt m/C groter, de trillingstijd langer en de frequentie lager.
Onthoud
De eigenfrequentie hangt af van de massa m en de veerconstante C samen.
Bij een kleinere massa wordt de frequentie hoger, bij een kleinere veerconstante lager.
Resonantie treedt op wanneer de frequentie van de aandrijving gelijk is aan de eigenfrequentie.
Een grotere trillingstijd betekent een lagere frequentie, want f = 1/T.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
In de vraag moet je eerst laten zien dat een kleinere massa de afname van f niet verklaart. Daarna laat je zien hoe het model de afname wel verklaart.
- 1
Gebruik T = 2π·√(m/C) en f = 1/T.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen kijken alleen naar de massa en vergeten de veerconstante. Reken met m en C samen, want beide bepalen de trillingstijd.
Leerlingen verwisselen T en f. Schrijf f = 1/T en let op dat de eenheid van f hertz is.
Leerlingen denken dat resonantie alleen bij hoge frequenties optreedt. Resonantie ontstaat bij de eigenfrequentie van het systeem, hoog of laag.
Snel checken
Een massa-veersysteem heeft een eigenfrequentie van 4,0 Hz. Welke verandering maakt de eigenfrequentie hoger?
Een voorwerp aan een veer wordt aangestoten met een frequentie die gelijk is aan zijn eigenfrequentie. Wat gebeurt er met de amplitude?