Exponentiële groei herkennen aan een tabel
Bij exponentiële groei krijgt een grootheid bij gelijke tijdstappen steeds dezelfde groeifactor. In het examen moet je met een tabel kunnen onderzoeken of een groeiproces daar bij benadering aan voldoet.
Bij exponentiële groei wordt een grootheid na elke vaste tijdstap steeds met dezelfde factor vermenigvuldigd. Bij lineaire groei komt er elke stap juist hetzelfde getal bij.
Om een tabel te onderzoeken, reken je eerst de tijdsverschillen uit tussen de opeenvolgende metingen. Daarna reken je de verhouding van de waarden uit. Verdubbelt de waarde steeds in dezelfde tijd, dan past een exponentieel model.
Let op: de tijdstappen hoeven niet gelijk te zijn. Dan vergelijk je de groeifactoren per seconde. Die reken je uit met de macht 1/Δt, waarbij Δt het tijdsverschil is.
- Reken de tijdsverschillen tussen opeenvolgende metingen uit.
- Reken per stap de verhouding nieuwe waarde gedeeld door oude waarde uit.
- Reken de groeifactor per seconde uit en vergelijk die factoren.
In de tekst van de sprintopgave staan maar drie metingen uit fase I. De tijdstappen zijn daar 0,7 s en 1,1 s, dus vergelijk je per seconde.
Onthoud
Bij exponentiële groei is de groeifactor per vaste tijdstap steeds gelijk.
Bij ongelijke tijdstappen reken je de groeifactor per seconde uit met de macht 1/Δt.
Vergelijk de groeifactoren per seconde, niet de waarden zelf.
Een tabel met steeds een verdubbeling bij gelijke tijd wijst op exponentiële groei.
Als de factoren verschillen, is het groeiproces niet exponentieel.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Onderzoek met de tabelwaarden van de sprint of er sprake kan zijn van exponentiële groei. Gebruik de metingen van t = 1,2 s tot t = 3,0 s.
- 1
Van 5 m naar 10 m is de afstand twee keer zo groot. De factor is dus 2.
Veelgemaakte fouten
Kijk niet alleen naar de getallen in de tabel, reken ook de tijdsverschillen tussen de metingen uit.
Rereken met de verhouding van de waarden en niet met het verschil, want bij exponentiële groei gaat het om een factor.
Vergelijk de groeifactoren per seconde en niet de factoren over verschillende tijdstappen, want die zijn dan niet te vergelijken.
Snel checken
Een tabel geeft bij t = 0, 1, 2 en 3 de waarden 4, 8, 16 en 32. Wat kun je hieruit concluderen?
Een grootheid heeft bij t = 0 de waarde 3, bij t = 2 de waarde 12 en bij t = 4 de waarde 48. Is er bij benadering sprake van exponentiële groei?