Exponentiële verbanden
Bij een exponentieel verband verandert een grootheid in gelijke tijdsstappen steeds met dezelfde factor. Dit onderwerp komt op het centraal examen terug bij groeiprocessen, het opstellen van formules en het rekenen met beginwaarde, groeifactor en groeipercentage.
Bij een exponentieel verband is de verhouding tussen de waarden na elke gelijke tijdsstap steeds hetzelfde getal. In een tabel zie je dat aan de opeenvolgende quotiënten. Bij een groeiproces stel je vast of dit bij benadering het geval is.
De formule heeft de vorm N = b · g^t. Hierin is b de beginwaarde (de waarde bij t = 0) en g de groeifactor. Is g groter dan 1, dan is er sprake van groei. Is g kleiner dan 1 en groter dan 0, dan is er sprake van afname. Bij een groeipercentage p geldt g = 1 + p bij groei en g = 1 − p bij afname, met p als decimaal getal.
Bij een halveringstijd of verdubbelingstijd hoort een vaste factor: na één halveringstijd is de hoeveelheid gehalveerd (factor 0,5) en na één verdubbelingstijd is de hoeveelheid verdubbeld (factor 2). Let erop dat de tijdseenheid van de formule overeenkomt met de tijdseenheid van de vraag, zoals jaren of dagen.
Bij het opstellen van een formule uit een tabel, grafiek of tekst bepaal je eerst de beginwaarde b en daarna de groeifactor g. Die groeifactor vind je uit twee gegevens waarvan het tijdsverschil één eenheid is.
In een grafiek van een exponentiële functie lees je de beginwaarde af op de verticale as bij t = 0. Een groeiende functie stijgt steeds steiler. Een afnemende functie daalt steeds minder steil.
Onthoud
Exponentieel betekent: elke gelijke tijdsstap wordt vermenigvuldigd met dezelfde groeifactor g.
Formule: N = b · g^t, met b de beginwaarde en g de groeifactor.
Groeipercentage p: g = 1 + p bij groei, g = 1 − p bij afname.
Verdubbelingstijd: factor 2 per periode. Halveringstijd: factor 0,5 per periode.
Let op dat de tijdseenheid van de formule gelijk is aan die van de vraag.
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
Bereken hoeveel keer zo zwaar een kuiken is op de dag dat het vliegvlug is (d = 24) ten opzichte van de dag dat het ei uitkwam (d = 0). Geef het antwoord als geheel getal.
- 1
Gegeven is de formule G = 273 / (1,08 + 12,5 · 0,8^d).
Veelgemaakte fouten
Je rekent met het groeipercentage als getal in plaats van als decimaal: gebruik bij 5% de factor 1,05 en niet 5.
Je verwart de beginwaarde met de waarde na een periode: de beginwaarde b is de waarde bij t = 0.
Je gebruikt de verkeerde tijdseenheid, bijvoorbeeld jaren in de formule terwijl de vraag over maanden gaat: reken de tijd eerst om.
Snel checken
Een hoeveelheid groeit elk jaar met 5%. Welke groeifactor hoort daarbij?
Een bacteriekolonie heeft een beginwaarde van 500 en verdubbelt elke 3 uur. Hoeveel bacteriën zijn er na 12 uur?